Reja. Ferma teoremasi

2. Roll teoremasi

2-teorema (Roll teoremasi). Agar funksiya kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1) da uzluksiz; 2) da differensiallanuvchi; 3) shartlarni qanoatlantirsa, u holda bo‘ladigan kamida bitta ) nuqta mavjud bo‘ladi.

Isbot.  Ma’lumki, agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin.

1. , bu holda kesmada va bo‘ladi. Ravshanki, tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida ning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.

2. , bu holda teoremaning shartidan funksiya yoki qiymatlaridan kamida birini kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Endi ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra funksiya intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.

bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. 

Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin ( 2-rasm). Agar kesmada uzluksiz, intervalda differensiallanuvchi funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda funksiya grafigida abssissasi bo‘lgan shunday nuqta topiladiki, shu 2-rasm

nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi.

2-izoh. Roll teoremasining shartlari yetarli bo‘lib, zaruriy shart emas. Masalan, 1) , funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.

, lekin bo‘ladi.

2) funksiya uchun Roll teoremasining barcha shartlari bajarilmaydi, lekin intervalning ixtiyoriy nuqtasida bo‘ladi.