Reja: Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Mavzu : Birinchi tartibli differensial tenglamalarni irratsional usulda yechish.
Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar.


Reja:
1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar.
2. Oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglamalar.
3. Oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
4. Mavzuga doir amaliy mashgʻulotlar bajarish.
5. Xulosa.

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.

Agar parametrning ixtiyoriy noldan farqli qiymatida f{ tx ,ty )= t" f(x ,y ) ayniyat bajarilsa, j[x,y) funksiya n-tartibli bir Jinsli funksiya deyiladi. Masalan, / {x,y) = x* + 3x2y funksiya uchun f(tx ,ty ) = (tx f + 3(tx)2ty = tyx3 + 3t3x 2y = t 3(x:> + 3x2y ) = t3f{ x ,y ) . Demak, bu funksiya 3- tartibli bir jinsli bo’ladi. Agar A x,y) - nol - tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, u holda У = fix,у) (1) differensial tenglama bir jinsli deyiladi. Ravshanki, bir xil tartibli bir jinsli P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qatnashgan P(x,y)dx + Q{x,y)dy=0 (2) tenglama bevosita bir jinsli differensial tenglamaga olib kelinadi va shunung uchun u ham bir jinsli tenglama deb yuritiladi. (I) tenglamani, shuningdek, (2) tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirish mumkin. J{x,y) - nol - tartibli bir jinsli funksiya bo’lgani uchun quyidagi ayniyatga ega bo’lamiz: f(tx ,ty ) = f( x ,y ) .
parametmi ixtiyoriy tanlab olishimiz mumkinligidan foydalanib, bu ayniyatda t = — x almashtirishni amalga oshirsak, f ( x , y ) = f { \ £ ayniyatni hosil qilamiz. у = их formula orqali yangi izlanayotgan и funksiyani kiritib У = «’(«) (3) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda < p ( u ) - u x * < p { u ) - u J X Bundan keyin hosil bo’lgan umumiy integralda yordamchi и funksiya o’miga — ifodani qo’yamiz. x Ushbu dy _ J ax + by + c dx ^ a,x + bty + c, ko’rinishdagi tenglama bir jinsli yoki o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi. a b Agar " , Ai # 0 bo’lsa x - u + a , y = v + f) almashtirish amalga oshiriladi, (ax + by + c =0 bu yerda a va p sonlar J tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. [ajjr + bsy + c1 = 0 Natijada bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. a b Agar L = 0 bo’lsa, berilgan tenglama a , b , dy = ^ k ja ^ + b ^ + c ^ dx a, x + bxy + c,
ko’rinishda bo’ladi, bunda к = — = — . Bundan keyin "i A axx + b^y = t yoki ax + by = t almashtirish berilgan tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglarnaga keltiradi. Masala. Quyidagi tenglamaming umumiy yechimini toping: a) (_y2 - 2xy)dx + x 1 dy = 0 ; b) xy'= -Jx2 - у 2 + у ; c) (x - 2 y + 3)dy + (2x + y - l) d x = 0 ; d) 2(x + y)dy + (Зл + Зу - \)dx = 0 Yechish. a) (y1 -2xy)dx +xldy = 0 tengiama tarkibidagi P = y 2 - 2xy, Q = x 2 funksiyalar ikkalasi ham ikkinchi tartibli bir jinsii funksiyalar bo’lgani uchun bu tengiama bir jinsii tengiama bo’iadi. Shuning uchun y=xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda dy- xdu t udx va tengiama x 2{u2 -2u)dx + x 2(xdu + udx) =0 yoki (u1 - u)dx + xdu = 0 ko’rinishda bo’ladi. O’zgaruvchilami ajratamiz: — = va hosil qilingan tenglamani x n(l - u) integrallaymiz: O’ngtomondagi integralni topamiz: < - - Ь г Ч JC w(l - u) 1 — \ = ( - + — Ии = + j — = lnlul - Inll - u\ + lnlCl = In м(1- и ) \ a l - u j и l - u 11 1 1 11 Topilgan ifodani (4)ga qo’ysak, Си Си 1~ u In JC = In 1- u , yani x = yoki u = -- - ga ega bo’lamiz. I- и С + д: v Jf2 . . . So’ngi ifodadagi и o’miga — ni qo’yib, у = ------- umumiy yechimni topamiz. x C + x „2 Javob: у ■ C + x

Differensial tenglamalar haqida boshlangich tushunchalar.

Agar bir noma`lum funksiyani emas, balki bir yo`la bir nechta noma`lum funksiyani topish masalasi qo`yilgan bo`lsa, umuman olganda, masala chekli shartlari - tenglamalari ham bir nechta bo`lishi zarur bo`ladi. Agarda masala tenglamalari differensial tenglamalardan iborat bo`lsa, u holda differensial tenglamalar sistemasi haqida gapirish mumkin.
Sistema har bir tenglamasida hosila tartibi 1 dan oshmasa, sistema bi-rinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi deb yuritiladi. Ikki noma`lum funksiyali ikki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi, odatda,
φ(х, у1, y2, dy1/dx; dy2/dx) = 0
φ(x, у1, у2, dy1/dx; dy2/dx) = 0 (4)

ko`rinishda yoziladi.

Bir tenglama uchun Koshi masalasining qo`yilishi tabiiy ravishda differensial tenglamalar sistemasi uchun umumlashtiriladi. Masalan, (4) sistema uchun Koshi masalasi boshlang`ich y1(x0) = y10, y2(x0) = y20 shartlarni qanoatlantiravchi y1(x), y2(x) yechimlarni topishni anglatadi.
Har qanday yuqori tartibli differensial tenglamani yoki tenglamalar sistemasini birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin.
Masalan, y" = f(x, у, у′) tenglamani

y′ = u
u′ = f(x, y, u) sistema bilan almashtirish mumkin.

Massasi m bo’lgan jism V(0)=V0 boshlang’ich tezlik bilan biror balandlikdan tashlab yuborilgan. Jism tezligining o’zgarish qonunini toping. (1 - rasm)
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra mdv/dt=F
bu erda F - jismga ta’sir etayotgan kuchlarning yig’indisi (teng ta’sir etuvchi). Jismga faqat 2 ta kuch ta’sir etsin deb hisoblaylik: havoning qarshilik kuchi F1=-kv, k>0; yerning tortish kuchi F2=mg.

F1=-kv F2=mg

1-rasm
Demak, matematik nuqtai nazardan F kuch a) F2 ga; b) F1 ga; v) F1+F2 ga teng bo’lishi mumkin.
a)Agar F=F1 bo’lsa, mdv/dt=-kv tenglamaga ega bo’lamiz. Bunda V(t)=V0e-kt/m bo’ladi.
b) F=F2 bo’lsa, U holda birinchi tartibli mdv/dt=mg differentsial tenglamaga egamiz. Bu tenglamani yechimini V(t)=gt+c (c - ixtiyoriy o’zgarmas son) ko’rinishda ekanligini oddiy hisoblarda tekshirish mumkin. V(0)=V0 bo’lgani uchun c=V0 bo’lib, u holda izlangan qonun V1=gt+V0 ko’rinishida bo’ladi.
v) F=F1+F2 bo’lsin. Bu holda mdv/dt=mg-kv (k>0) tenglamaga kelamiz. Noma’lum funksiya

ko’rinishida bo’ladi.

1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u', u'’,.....,u(n) hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.

Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.

3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi.

Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

F (x,y,)=0 (1.1)
Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda

=f(x,y) (1.2)

tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (1.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (1.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli :
Teorema. Agar (1.2) tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo’yicha olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0 shartnii qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud.
x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich shart deyiladi:
y(x0)=y0
4 – ta’rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=(x,с)
funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;
b) x=x0 da y=y0 boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday с=с0 qiymat topiladiki, y=(x,с0) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
5 – ta’rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0 tenglik (1.1) differentsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
6 – ta’rif. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda с=с0 ma’lum qiymat berish natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=(x,с0) funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy integral deyiladi.
7-ta’rif. (1.1) differensial tenglama uchun dy/dx=с=const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Ta’rif. F(x,y,y’,....,y(n))=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.

Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с1, с2, .... сn - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с1, с2, .... сn)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

с1,...,сn larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;

berilgan y(x0)=y0, (x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 boshlang’ich shartda с1, с2, .... сn larni shunday tanlash mumkinki,

y= (x, с1, с2, .... сn) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.

Ta’rif. Umumiy yechimdan с1, с2, .... сn miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.

Foydalaniladigan adabiyotlar :

• 
  OʻzME. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil
  
• 
  Petrovskiy I. G., Leksii po teorii obiknovennix differensialnix uravneniy, 6 izd., M., 1970
  
• 
  Salohiddinov M. S, Nasriddinov Gʻ., Oddiy differensial tenglamalar, T., 1994