Reja: Aniq integral tushunchasi Aniq integralning xossalari N`yuton-Leybnis formulasi Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash Aniq integralni bo`laklab integrallash Aniq integral tushunchasi

Misol. integralni ta`rif asosida hisoblang.
Yechilishi: Berilishiga ko`ra va oraliqni quyidagi nuqtalar yordamida ta teng elementar kesmalarga ajratamiz va berilgan funksiyaning ularga mos qiymatlarini topamiz:

U holda, integral yig`indining qo`shiluvchilari
Integral yig`indi quyidagicha bo`ladi:


U holda, Demak, kv. birl.
2. Aniq integralning xossalari
1- xossa. Har qanday o`zgarmas son uchun quyidagi tenglik o`rinli:
(1)
Isboti: funksiyaning dagi integral yig`indisini qaraydik:

Demak, (1) tenglik o`rinli ekan.
2- xossa. O`zgarmas sonni integral belgisi oldiga chiqarish mumkin:
(2)
Isboti: funusiyaning dagi integral yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir:

Shuning uchun
Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi bo`lib, (2) formula o`rinli ekan.
3-xossa. Agar va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo`lsa, ularning algebraik yig`indisi ham shu oraliqda integrallanuvchi bo`ladi, ya`ni:
(3)
Isboti:

4-xossa. Agar aniq integralning chegaralari o`zaro almashtirilsa, uning ishorasi qarama –qarshiga o`zgaradi:
(4)
Isboti talabalarga havola qilinadi.
5-xossa. Chegaralari o`zaro teng, ya`ni bo`lgan aniq integral nolga teng:
(5)
Isboti talabalarga havola qilinadi.
6-xossa. Agar fnksiya da musbat bo`lib, bo`lsa, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
(6)
Isboti: oraliq ixtiyoriy elementar kesmalarga ajratilganda va nuqta da ixtiyoriy tanlanganda va bo`ladi. U holda,

Bundan,