Reja: Aniq integral tushunchasi Aniq integralning xossalari N`yuton-Leybnis formulasi Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash Aniq integralni bo`laklab integrallash Aniq integral tushunchasi

7-xossa. Agar oraliqda bo`lganda bo`lsa,
. (7)
o`rinli bo`ladi.
Isboti: Shartga asosan U holda, uni da integrallaymiz:

3-xossaga asosan
8-xossa. Agar oraliqda bo`lib, va lar funksiyaning shu oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa, quyidagi o`rinli bo`ladi:
(8)
Isboti: Shartga asosan

Tengsizlikni oraliqda integrallaymiz:

U holda, 2- xossaga va 1- xossaga asosan

9-xossa. (O`rta qiymat haqidagi teorema). Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsa, bu oraliqda shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(9)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: oraliqda va lar funksiyaning eng kichik hamda eng katta qiymatlari bo`lsin. U holda, 8 –xossaga asosan

Bundan, . funksiya uzluksiz bo`lganligi sababli u oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda, dagi va nuqtalar orasida yotadi, ya`ni Bundan

Demak, yoki


3. N`yuton-Leybnis formulasi
Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsin. U holda, funksiya shu oraliqda boshlang`ich funksiyaga ega bo`ladi. Boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lib, u quyidagidan iborat bo`lsin:
bunda (1)
Shu oraliqda funksiyaning boshqa boshlang`ichi ham mavjud bo`lsin. U holda, bu boshlang`ich funksiyalar bir – biridan biror o`zgarmas songa farq qilishi ma`lum, ya`ni
(2)
Agar bo`lsa, (1) tenglik hamda 5- xossaga asosan quyidagiga ega bo`lamiz:
(3)
(4)
(4) ni (2) ga qo`ysak
(5)
hosil bo`ladi. deb olsak
(6)
(6) formulaga Nyuton –Leybnis formulasi deyiladi.
ayirmani quyidagi ko`rinishlarda yozish qabul qilingan.
yoki
U holda, (6) formula bunday ifodalanadi:
(7)