Ratsionalifodalarniayniyshaklalmashtirish. Biror X(x1, xn) algebraikifodaniaynanalmashtirish

n-darajaliarifmetikildiz .Ratsionalko'rsatkichlidaraja.

a 0 sonning n-darajaliarifmetikildizideb (nN), n-darajasi a gatengbo'lgan b 0 songaaytiladiva b=orqalibelgilanadi. Ta'rifbo'yicha: ()ⁿ= a .

a>0, mZ va nNbo'lsa, soni a ningr = ratsionalko'rsatkichlidarajasideb ataladi, ya'nia^r==.

Xususan, = . Ratsionalko'rsatkichlidarajaningx o s s a 1 a r i butunko'rsatkichlidarajaxossalarigao'xshash. a, b – ixtiyoriymusbatsonlar, r va q— ixtiyoriyratsionalsonlarbo'lsin. U holda:

1) (ab)^r = a^rb^r (1’) .Haqiqatan, r= , nN, mZ bo'lsin. U holda:

((ab)^r)ⁿ = (1’)

Xususan, (2’)

2) a^r•a^q =a^r+qbunda r= (3') Haqiqatan, =

3) (4’). ((2’) kabiisbotlanadi). 4) (a^r )^q = a^rq , bunda. (5') Haqiqatan, .Bundan (5')ningo'rinliekanima'lumbo'ladi.
Ildiz.

Yuqoridaarifmetikildizgata'rifberilganedi.a0 da x= son xⁿ=a tenglamaningyagonanomanfiyyechimiekanligi, shuningdek, aR va n-toq natural son bo'lsa, xⁿ=a tenglamaningyagonayechimgaegaekanligiquyidaisbotlanadi.

xⁿ =a tenglamaning (buyerda aR, nN) harqandayildizi a soniningn-darajaliildizideyiladi.

1-teorema.Harqanday a0 haqiqiy son uchunhardoimxⁿ=a tenglikniqanoatlantiruvchiyagona x0 haqiqiy son mavjud.

2- t e o r e m a.Agar A natural son hechbir natural sonning n-darajasibo'lmasa, soniirratsionalsondir.

Isbot.Shartbo'yicha A soninomanfiysonlarning 0ⁿ,1ⁿ,2ⁿ,…..,kⁿ,….. . n- darajalarketma-ketligidauchramaydi, demak, butun son emas. U kasr ham emas.Haqiqatan, =bo'lsin, deb farazqilaylik, bunda p va q laro'zaro tub va p1,q0.U holda A=pⁿvaqⁿ -o'zaro tub, q1

bo'lganidan A soniqisqarmaskasrbo'ladi. Bu esashartgazid.Demak, sonifaqatirratsionaldir.Teoremaisbotqilindi.

3-t e o r e m a.Agar , ql, qisqarmaskasrningsurativamaxrajianiq n-darajabo'lmasa, ildizirratsionalsondir.

Isbot.Teskaricha, ildizratsional son, deb farazqilaylik, ya'ni=, B(a, b)=1. U holda=, B(aⁿ,bⁿ)= l vabundan p=aⁿ,q=bⁿbo'lishikelibchiqadi.Lekinshartbo'yicha p va q n- darajaemas. Demak, - irratsional son.Isbotqilindi.

4- t e o r e m a.Haqiqiysonlarsohasidatoqdarajaliildizfaqatbirqiymatlivauninguchunushbutengliko'rinli:



I sbot.x²ⁿ⁺¹= a, a0, (1) tenglamaaR uchunyagonayechimgaegaekanliginiko'rsatamiz:

a) a0 bo'lsin.Uholdax<0 son uchun x²ⁿ⁺¹<0 a. Demak, (1) ning, mavjudligi 1- teoremadanko'rinadigan, x=0 ildiziuningyagonahaqiqiyildizidir;

b) a<0 bo'lsa, (1) ni (-x)²ⁿ⁺¹ =-a ko'rinishdayozibolishmumkin.-a>0 bo'lganiuchun, a) holgako'ra, oxirgitenglamava, demak, (1) tenglama ham yagona x=yechimgaegadir.

aR uchun x₁= -va x₂= sonlari (1) ningildizlaribo'ladi.Yuqoridaisbotlangan- largako'ra, x₁=x₂ .Teoremaisbotqilindi.

Teoremadanko'rinadiki, = a ayniyatn ning 1dan kattatoq natural qiymatlarida, ixtiyoriy aR uchuno'rinli. Agar n = 2m (buyerda mN) bo'lsa, ==bo'ladi.Demak, a0 bo'lsa, = a tenglik, a < 0 bo'lgandaesa=-a tengliko'rinli.

3-misol.

Agar a0, b0 bo’lsa, ab0 vabo’ladi.

4-misol..