Ratsional sonlar to’plamining xossalari. O’nli kasrlar va ular ustida arifmetik amallarni bajarish algoritmi. Ratsional son chеksiz davriy o`nli kasr sifatida

Teorema. kasrlar teng bo'lishi uchun pq = nt bo'lishi zarur va yetarlidir.
Isboti: 1) kasrlarning tengligidan pq = nt ekanligini ko'rsatamiz. Har qanday q natural son uchun , har qanday n natural son uchun bo'lgani uchun, kasrlarning tengligidan tenglik kelib chiqadi, bundan o'z navbatida pq = nt tenglik kelib chiqadi.
2) ni ko'rsatamiz. pq=nt to'g'ri tenglikning ikkala qismini nq natural songa bo’lsak, to'g'ri tenglikning hosil qilamiz.
Ammo . Demak,
Yuqorida qaralgan faktlardan kasrning asosiy xossasi kelib chiqadi: agar berilgan kasrning surat va maxraji bir xii natural songa ko'paytirilsa, bo'linsa, berilgan kasrga teng kasr hosil bo'ladi. Kasrlarni qisqartirish va kasrlarni bir xil maxrajga keltirish shu xossaga asoslangan.
Kasrlarni qisqartirish - berilgan kasrni unga teng, lekin surati va maxraji undan kichik bo'lgan kasrga almashtirishdir.
Agar kasrning sural va maxraji uchun umumiy bo'luvchilarining eng kattasi 1 ga teng bo'lsa. kasr qisqarmas kasr deyiladi. Masalan qisqarmas kasr.
Kasrni qisqartirish natijasida, odatda, unga teng qisqarmas kasrni hosil qilish uchun, berilgan kasming surat va maxrajini ulaming eng katta umumiy bo'luvchisiga bo'lish kerak.
Masalan, kasrni qisqartirish uchun D(35,40) ni toparaiz, D(35,40) = 5.
Endi 35 ni 5 ga va 40 ni 5 ga bo'lib, ni hosil qilamiz. - qisqarmas kasr.
Agar kasrlar faqat va faqat bitta kesma uzunligini ifodalasa, ekvivalent kasrlar deyiladi.