Raqamli pedagogika: holati va rivojlanish istiqbollari

1 
и для каждого самосопряженного подпространства 
S
B

, 
содержащего 
1
, всякое вполне положительное линейное отображение 
:
S
A

→
можно продолжить до вполне положительного линейного отображения 
:
B
A

→
. Напомним [2], что W*-алгебра 
(
)
A
B H

является инъективной тогда и только 
тогда, когда она обладает так называемым 
свойством
E
(the Extension property), 
т.е. существует проекция 
: (
)
P B H
A
→
такая, что 
1
P
=
и P(
1
) = 
1
. При этом 
отображение 
P
является вполне положительным. В работе [3] доказано, что если 
вещественная W*-алгебра 
(
)
R
B H

является инъективной, то она обладает 
свойством 
E
, т.е. существует проекция 
: (
)
P B H
R
→
такая, что 
1
P
=
и P(
1
) = 
1
. 
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. 
Пусть алгебра 
R
– вещественная W*-алгебра. Если 
R
обладает 
свойством 
E,
то она является инъективной.
Доказательство.
Пусть
 
R
– вещественная W*-алгебра такая, что 
(
)
r
R
B H

и 
(
)
(
)
( )
r
r
B H
iB H
B H
+
=
, где 
r
H
– вещественное гильбертово пространство и
r
r
iH
H
H
+
=
. Пусть 
B
– вещественная 
С*
-алгебра, 
S
B

– самосопряженное 
подпространство с 
1
S

. Известно [4], что алгебра 
(
)
r
B H
– инъективна. Тогда 

---

Raqamli pedagogika: holati va rivojlanish istiqbollari
 
115 
отображение 
:
(
)
r
S
R
B H

→ 
можно продолжить до вполне положительного 
отображения 

на 
B
, т.е. существует отображение 
:
(
)
r
B
B H

→
такое, что 
|
S


=
.
Пусть 
R
обладает свойством 
E
, т.е. существует проекция 
:
(
)
P B H
R
→
 
такая, 
что 
1
P
=
и P(
1
)=
1
. Рассмотрим отображение
1
:
(
)
P
r
P
B
B H
R



=
⎯⎯
→
⎯⎯
→
. 
Поскольку 
P
и 

– вполне положительны, то очевидно, что их композиция 
1
P


=
также вполне положительна и 
1
|
S


=
. Отсюда алгебра 
R
– инъективна. 
Теорема доказана.
Следствие 1. 
Вещественная W*-алгебра 
R
является инъективной тогда и 
только тогда, когда она обладает свойством 
E
.
Литература 
1.
Li Bing-Ren, Real operator algebras, World. Sci. Pub.Co. Pte. Ltd. 2003. 241p. 
2.
Loebl R.I. Injective von Neumann algebras. American Mathematical Society. 
1974, Vol.44, N1, pp.46-48. 
3.
Рахимов А.А., Нуриллаев М.Э. Инъективные вещественные W*-алгеб- ры. 
Узбекский математический журнал, 2014, № 2, ст. 121-124.
4.
Нуриллаев М.Э., Рахимов А.А. Инъективность вещественного фактора 
B(H)
. Республиканская научная конференция с участием зарубежных 
ученых «Современные методы математической физики и их 
приложения».15-17 апрель, 2015. Ташкент. 56-57 стр.