Ranch texnologiya universiteti “Iqtisodiyоt va ishlab chiqarishni tashkil qilish” kafedrasi “Oliy matematika” fanidan yakuniy nazorat savollari

Ellips va uning kanonik tеnglamasi
TA'RIF: Ellips dеb, har bir nuqtasidan bеrilgan ikki nuqtagacha (fokuslargacha) masofalarning yig¢indisi o¢zgarmas 2a soniga tеng bo¢lgan tеkislik nuqtalarining gеomеtrik o¢rniga aytiladi.
Bu 2a o¢zgarmas son fokuslar orasidagi 2c masofadan katta dеb olinadi.
Biz F₁ vа F₂ fokuslarni koordinatalar boshiga nisbatan simmеtrik qilib olamiz. Unda fokuslar F₂(-c;0) vа F₁(c;0) koordinatalarga ega bo¢ladi.Agar M(x;y) ellipsda yotgan ixtiyoriy nuqta bo¢lsa, unda ellips ta'rifiga asosan F₁М+F₂М yigindi uzgarmas son bo¢lishi kеrak, ya'ni
F₁М+F₂М=2а . (4)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga asosan
F₁М= , F₂M= .
Bu natijalarni (4)-tеnglikka qo¢yib, uni soddalashtiramiz:
+ = 2a
=2а -
x²+2xc+c²+y²=4a²-4a + x²-2xc+c²+y²
4а²-4хс=4а ; а²-хс=а
a²(x²-2xc+c²+y²)=a⁴-2a²xc+x²c²
a²x²+a²c²+a²y²= a⁴+x²c² (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) (5)

2. 
   Determinantni hisoblash usullari.Determinantning asosiy xossalari.
   

Ikkinchi-tartibli determinantlar. Determinantlarning asosiy xossalari.

Haqiqiy a, b, c va d haqiqiy sonlar berilgan bo`lsin. Ular ikkinchi – tartibli determinant yoki aniqlovchi deb ataluvchi ad – bc sonni aniqlaydi va ko`rinishda yoziladi.
Ta`rifga asosan, .
a, b, c va d sonlarga determinant elementlari deyiladi. Ikkinchi tartibli determinantda a, b- birinchi, c, d- ikkinchi satr, a, c- birinchi, b, d – ikkinchi ustun, a, d- bosh yoki birlamchi, b, c- ikkilamchi diagonallar bir-biridan farqlaniladi.
ikkinchi-tartibli determinant misolida determinantlarning quyidagi asosiy xossalarini tekshirib ko`rish qiyin emas.
Determinantning kattaligi:
1-xossa: satrlari mos ustunlari bilan almashtirilsa - o`zgarmaydi;
2-xossa: satrlari (ustunlari) o`rinlari almashtirilsa - ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi;
3-xossa: biror-bir satr (ustun) har bir elementi k haqiqiy songa ko`-paytirilsa - k marta ortadi;
4-xossa: biror-bir satr (ustun) har bir elementi nolga teng bo`lsa – nolga teng;
5-xossa: ikki satr (ustun) mos elementlari o`zaro teng yoki proportsional bo`lsa - nolga teng.
Quyida ta`riflanadigan 3-tartibli, ixtiyoriy n-tartibli determinantlar uchun ham yuqoridagi xossalar o`rinli.

Uchinchi-tartibli determinantlar

Uchinchi tartibli determinant yoki aniqlovchi deb,
Δ = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃ (1)
yig`indiga teng songa aytiladi va


ko`rinishda yoziladi.
Haqiqiy a<sub>ik</sub> (i, k = {1, 2, 3}) sonlarga determinantning elementlari deyiladi. a<sub>ik</sub> element i- satr va k- ustun elementi bo`lib, ularning kesishmasida joylashgan. Uchinchi-tartibli determinantda ham satr va ustunlar, bosh va ikkilamchi diagonallar bir-biridan farqlaniladi.
(1) standart ifoda sodda tuzilishga ega. a_ik elementlar bo`yicha hisoblanadigan Δ yig`indini Sarryus qoidasi yordamida tuzish mumkin. Determinant ustunlariga o`ngdan birinchi va ikkinchi ustunlarini ko`chirib yozib, kengaytirilgan jadval tuzamiz:
Bosh diagonal yo`nalishida joylashgan elementlar ko`paytirilib mus-bat ishora bilan, ikkilamchi diagonal yo`nalishidagi elementlar ko`pay-tirilib manfiy ishora bilan olinsa, (1) yig`indi hosil bo`ladi.
Δ yig`indi uchburchaklar usulida ham tuzilishi mumkin:
Oldidagi ishorasi bilan birga har bir ko`paytma determinantning hadi deyiladi. Har bir ko`paytma determinantning har bir satri va ustuni element – vakillaridan tarkib topgan. (1) ifodaning standart deyilishiga sabab, uning har bir hadida ko`paytuvchi elementlar birinchi indeks - satr nomerining o`sish tartibida joylashtirilgan. Ikkinchi indeks ustun nomerlari esa qu-yidagi tartibda joylashgan:

3. 
   va nuqtalar orasidagi masofani toping.