Radon-Nikodim teoremasi

Radon-Nikodim teoremasi
Endi biror ishorali o`lchovning -additiv o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi ma`lum bo`lganda, ularni (1) ko`rinishda ifodalash mumkinmi degan savol tug`iladi. Bu savolga Radon – Nikadim teoremasi javob beradi. Dastlab quyidagi yordamchi lemmani isbotlaymiz.
Lemma. Agar aynan 0 ga teng bo`lmagan o`lchov o`lchovga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lsa, u holda shunday natural n va bo`lgan o`lchovli B to`plam topiladiki, B to`plam ishorali o`lchovga nisbatan musbat to`plam bo`ladi.
Isbot. Har bir ishorali , o`lchovga mos kelgan Han yoyilmasini yozib, quyidagi to`plamlarni tuzamiz: ,
U holda barcha n uchun tengsizlikdan ushbu tenglizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik har qanday n uchun o`rinli ekanligidan munosabatga ega bo`lamiz. Demak, 1- teoremaga asosan bo`lib, ushbu tengsizlik har bir natural son uchun o`rinli ekanligidan tengsizlik kelib chiqadi. o`lchov o`lchovga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lgani uchun bo`ladi. Bundan va to`plamning tuzilishidan shunday natural son topiladiki, bo`ladi. Agar shu uchun deb olsak, lemma isbotlangan bo`ladi.