|
и xarakteristikalari bo'yicha berilgan qiymatlarni oladigan (1) tenglamaning yechimini topish talab qilinadi:
(11)
Faraz qilamizki, и birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega va . Keling, Koshi muammosi misolida bo'lgani kabi,
(12)
larni bekgilashlarni olamiz.
U holda (1) tenglama uchta tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo'ladi
(13)
Bu yerdan (11) va (12) ga ko'ra shunday xulosa kelib chiqadi
Koshi masalasida bo'lgani kabi, Gursa masalasi (1), (11) integral tenglamalar tizimining uzluksiz yechimi mavjudligini isbotlash uchun qisqartirishi isbotlangan (14). Yuqoridagidek (14) sistemaning mavjudligi va yagonaligi ketma-ket yaqinlashish usuli bilan isbotlanadi.
Riman usuli
Ushbu bo'limda biz boshlang'ich ma'lumotlar bo'yicha Koshi muammosining kerakli yechimini aniq ifodalovchi integral formulani olamiz. Yechimning mavjudligi oldindan taxmin qilinadi.
Ikkinchi tartibli differensial ifoda bilan birga
a va b koeffitsientlari uzluksiz differentsiallanadigan bo'lsa, uning qo’shmadifferensial ifodasini ko'rib chiqamiz
tenglama tenglamaga qo’shma deyiladi. O'ziga xoslik bor
(15)
to'g'ridan-to'g'ri farqlash orqali osongina tekshiriladi.
l egri chiziqning PQ yoyi va o'qlarga parallel bo'lgan va qo'zg'almas nuqtadan chiqadigan ikkita to'g'ri chiziq bilan chegaralangan sohani belgilaymiz (2-rasm). Identifikatsiyaning ikkala qismini (15) sohasi bo'ylab integratsiyalash va Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, biz quyidagini hosil qilamiz.
2-rasm
(16)
bu erda kontur uch qismdan iborat: xarakteristikalar QM va va
QM va MP xarakteristikalari bo'yicha olingan integrallarni ko'rib chiqaylik. QM xarakteristikasi bo'ylab faqat y o'zgarganligi sababli, QMga nisbatan integratsiyalashgan holda, biz integralni olamiz.
Birinchi atamani qismlar bo'yicha birlashtirib, biz quyidagiga ega bo’lamiz
(17)
Biz ham aynan shunday topamiz
(18)
(16) formulaga (17) va (18) ni almashtirib, quyidagini hosil qilamiz
(19)
Faraz qilaylik, (1) tenglamaning Koshi ma’lumotlarini (2) qanoatlantiruvchi yechimi, esa bir jinsli qo‘shma tenglamaning yechimi bo‘lsin.
(20)
sharti qanoatlantiradi.
(21)
Bu yechim, albatta, , nuqtani tanlashga bog'liq bo'ladi, ya'ni u mohiyatan bir juft nuqta funktsiyasi bo'ladi. Shuning uchun belgilashni olamiz.
(21) dan bizda
(22)
bor. xarakteristika bo’yicha;
xarakteristika bo’yicha;
(20) bir jinsli qo‘shma tenglamaning (22) shartlarni qanoatlantiradigan yechimi Riman funksiyasi deyiladi. Bu funktsiya , dagi Koshi ma'lumotlariga (2) yoki ushbu egri chiziqning shakliga bog'liq emas. Buning uchun (x,y) nuqta argument rolini, nuqta esa parametr rolini o'ynaydi. Riman funktsiyasining mavjudligi va o'ziga xosligi ushbu bobning 2-bo'limidan kelib chiqadi.
Agar (19) formuladagi ni Riman funksiyasi bilan almashtirsak, u holda (1) tenglama va (22) shartni hisobga olgan holda Riman formulasini olamiz.
(23)
Riman formulasi (23) Riman funksiyasi bo'yicha ixtiyoriy xaraktersiz egri chizig'ida berilgan ixtiyoriy boshlang'ich ma'lumotlar uchun (1) tenglama yechimining ko'rinishini beradi. Riman formulasini olish usulidan kelib chiqadiki, agar (1)-(2) Koshi muammosi yechimga ega bo'lsa, u yagonadir.
To'g'ridan-to'g'ri (23) formuladan kelib chiqadiki, agar egri chizig'idagi Koshi ma'lumotlari etarlicha kichik o'zgartirilsa, masalaning echimi ham o'zboshimchalik bilan kichik miqdorga o'zgaradi, ya'ni Koshi muammosining yechimi doimiy ravishda boshlang'ichga bog'liq. ma'lumotlar. (23) formuladan, shuningdek, eritmaning qiymati va M nuqtada faqat M nuqtadan kelib chiqadigan xarakteristikalar bilan dan kesilgan egri chizig'ining PQ yoyi bo'ylab dastlabki ma'lumotlarga bog'liqligi ham kelib chiqadi.
Agar P va Q nuqtalarda uzluksizlikni saqlagan holda, PQ yoyidan tashqaridagi egri chizig’idagi Koshi ma’lumotlarini o’zgartirsak, u holda yechim faqat MPQ egri chiziqli uchburchakdan tashqarida o’zgaradi. Shunday qilib, har bir xarakteristika eritma o'zgarmagan joyni u o'zgargan joydan ajratib turadi. Binobarin, har qanday xarakteristik chiziq uchun tenglamaning yechimlari yagona davom etmaydi.
Y uqoridagi taxmin, o'qlarga parallel to'g'ri chiziqlar, ya'ni xarakteristikalar; chizig'ini bittadan ko'p bo'lmagan holda kesib o'tadi.
3-rasm
Agar bu shart bajarilmasa, Koshi muammosi, umuman olganda, hal qilib bo'lmaydi. Masalan, egri chizig'i 3- rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'lsin. Riman usulini qo‘llagan holda, M nuqtada PQM egri chiziqli uchburchak yoki egri chiziqli uchburchak yordamida kerakli funksiyaning qiymatini aniqlashimiz mumkin. Olingan ikkita formulalar, umuman olganda, M nuqtada u uchun turli qiymatlarni beradi va shuning uchun Koshi muammosi yechilmaydigan bo'lib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
