Qoldiqli bo‘lish. Ekub. Ekuk reja: Qoldiqli bo‘lish. Ekub. Ekuk. Teorema

Qoldiqli bo‘lish. EKUB. EKUK
Reja:

1. Qoldiqli bo‘lish.

2. EKUB.

3. EKUK.
Teorema

R-ixtiyoriy hamda f va g lar koeffitsientlari R dan olingan olingan ko‘p xadlar bo‘lgan. g ≠ 0. U holda shunday q, r ϵ P [x] ko‘p xatlar juftligi topiladiki ular uchun
1. f=qg+r

2. r_dor < g _dor
shart bajarilib, bu juftlik yagona.

Misol. R [x] xalqada f (x) = 4x⁵ -2x³ +x² +x+2 ko‘pxadni g (x) = 2x³ -2x² -x +1 ko‘pxadga qoldiqli bo‘lamiz.

4x⁵-2x³+x²+x+2 2x³-x²-x+1

4x⁵-2x⁴-2x³+2x<sup>2

________________________</sup> 2x²+x+   

         2x⁴-x²+x+2

         2x⁴-x³-x²+x

^{_____________________________}

             x³+2

             x³ – _{ }x² - _{ }x+_{ }

^{____________________________}

               _{ }x² - _{ }x+_{ }

Bu erda q=2x²+x+ _{ }; r = _{ }x² - _{ }x+_{ }
Misollar. Qoldiqli bo‘ling. R [x] –xalqada
a) 2x⁴ -3x³ +4x² -5x-6 ni x² -3x +1 ga

b) x³ -3x² -x-1 ni 3x² -2x +1 ga bo‘ling.

EKUB
Eng katta umumiy bo‘luvchi Evklid algoritmi yordamida topilib, bir ko‘pxad ikkinchisiga, ikkinchisi birinchiga qoldiqqa bo‘linadi va hokazo. Oxirgi no‘ldan farqli qoldiq birinsi va ikkinchi ko‘pxadlar eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi. EKUB (f,g)=r
f=q₁ g+r

g= q₂ r₁+r₂
r_k-2 =q_kr_k-1+r_k

r_k-1 =q_k+1·r_k

Misol. R [x] maydonda f (x) = x⁴ +x³-x²-4x-3 va g (x) = 3x³+10x²+2x+3 ko‘pxadlar eng katta umumuiy bo‘luvchisisni topamiz. Demak Evklid algoritmiga ko‘ra f ni g ga bo‘lamiz.

x ⁴ + x³- x² - 4x-3 2x³-x²-x+1

x ⁴ + _{ } x³ + _{ } x²-x

^{________________________} 2x²+x+   

         - _{ } x³- _{ } x²-3x-3

- _{ }x³- _{ } x²- _{ } x² + _{ }

^{_____________________________}

           - _{ } x² – _{ }x - _{ } – qoldiq - r₁

Qulaylik uchun qoldiqni - _{ } ga ko‘paytiramiz. Navbatda bo‘luvchini birinchi qoldiqqa bo‘lamiz
3 x³+10x²+2x-3 x²+5x+6

3 x³+15x²+18x

^{________________________} 3x-5   

         -5x²-16x-3

         -5x²-25x-30

^{_____________________________}

             r₂ =9x+27 - qoldiq qulaylik uchun uni 9 ga bo‘lamiz.

Demak r₂=x+3, r₁ ni r₂ ga bo‘lamiz
x ²+5x+6 x+3

x ²+3x

^{________________________} x-2   

         2x-6

          2x-6

= =

Demak oxirgi noldan farqli qoldiq. r(x)=x+3
Demak (f,g)= x+3.
EKUK
Eng kichkina umumiy karrali ikkita f va g ko‘pxadlar uchun quyidagi formulalar bilan ifodalanadi. [f,g]·(f,g) = c f·g (s ϵ r, s ≠ 0).
Misol. R [x] xalqada f = 2x³+x-3, f_º g= x²+x-2 ko‘pxadlarni eng kichik karralisini topamiz. Dastlab d = (f,g) ni topamiz.

2x^3+x-3 x^2+x-2 2x^3+2x^2-4x ^______________________2x-2             -2x^2+5x-3           -2x^2-2x+4 7x-7=(x-1)  

x^2+x-2 x-1 x^2-x ^______________________x+2             2x-2           2x-2 = =

Demak d = x-1. Bu erdan esa [f,g] = _{ } = f · _{ } = (2x³+x-3) (x+2) = 2x⁴+4x³+x²-x-6

Misollar:

1. Maydon ustida ko‘pxadlar sistemasini umumiy buluvchisi, eng katta umumiy bo‘luvchisi (ta’rifi).

2. EKUB xossasi.

3. O‘zaro tub ko‘pxatlar va ularning xossalari.

4. Ikkita ko‘pxadni argumentlari orqali ularni EKUBni chiziqli ifodalash.

5. Ko‘pxadlar sistemasining umumiy karralisi ta’rifi, maydon ustida eng kichik umumiy karralisi.

6. EKUB va EKUK xossalari. Ular orasidagi bog‘lanish.

Misol-1. f (x) = x⁵ + 7x⁴ + 20x³ + 48x² + 52x + 57 va g(x) = x⁴ + 8x³ + 23x³ + 34x + 39 ko‘pxadlar eng katta umumiy bo‘luvchisini toping. (x² + x+3)

Misol-2. f (x) = x⁶ + x⁵ - 3x⁴ + 2x³+4x-2 va g (x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ + 6x² + 4x+6 ko‘pxadlar eng katta umumiy bo‘luvchisini toping. (173x²+173x+173) =173 R_3, x² + x+1 = R₃

Misol-3. f (x) = (x - 1)⁸¹³ (x + 2)¹⁰⁷ (x - 3)⁹¹ va g (x) = x⁹+x⁸-5x⁷+x⁶+11x⁵-13x⁴-7x³+5x²-4 ko‘pxadlar eng katta umumiy bo‘luvchisini toping. d (x) = (x-1)³ (x+2)²

Misol-4. f (x) = x⁵ + 7x⁴ + 20x³ + 48x²+52x + 57 va g (x) = x⁴ + 8x³ + 23x² + 34x + 39 bo‘lsa EKUB (f , g)ni toping. (x² +x+3)

Misol-5. f₁ (x) = x³ + 2x² + 3x + 2; f₂ (x) = x⁴ + x³ + x² - x - 2; f₃ (x) = x³ - x² - 4 ko‘pxadlar EKUB va EKUK larini toping.

EKUK (f₁, f₂, f₃) = EKUK (EKUK(f₁, f₂), f₃) EKUK (f₁, f₂) = _{ } = f₂

( EKUB (f₂, f₃) = x² + x+2) EKUK (f₂, f₃) = x⁵ - x⁴ - x³ - 3x² + 4

Misol-6. x¹⁵ + x¹³ - 2x⁵ - 3x³ + 3x = 0

x¹¹ + x⁹ - 2x = 0 sistemani eching (x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = -1)

Misol-7. f (x) = x³ + 5x² - x - 5; g (x) = x² - 3x – 4 bo‘lsa EKUB (f , g) ni toping.

Misol-8. f (x) = 6x³ + 10x² + 6 va g (x) = x² + 5x + 3; g (x) = x² + 5x + 6 lar uchun EKUB va EKUK larini toping.

Misol-9. f (x) = x⁵ + 6x⁴ + 10x³ - 11x - 6; g (x) = (x² + x – 2) (x² + 2x – 3) EKUB (f , g) ni toping.