Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

1-misol. 

х

у



 funksiyaning hosilasi topilsin. 

         Yechish. 





















































х

х

х

х

х

х

у

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

.Demak, 





х

х

2

1





.   

        2-misol. 

х

у

1



    funksiyaning hosilasi topilsin. 

         Yechish. 























































2

2

1

1

1

1

1

1

х

х

х

х

х

у

.   Demak, 

2

1

1

х

х



















. 

 

Izoh.  Funksiyaning  hosilasi  topilsin  deyilganda  shu  funksiyaning  aniqlanish 

sohasiga tegishli istalgan nuqtada uning hosilasini topishni nazarda tutiladi. 

Ko‟rsatkichli funksiyaning hosilasi 

Teorema. а

х

   ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi  

a

a

x

ln

 ga tengdir. 

 

Isboti.  у=а

х

  (а>0,  а≠1)  funksiyani  qaraymiz.  Uni    е  asosga  ko’ra  logarifmlasak    

a

х

у

ln

ln





  bo’ladi.    у  ni  х  ning    funksiyasi  hisoblab,  tenglamaning  ikkala  qismini  х 

bo’yicha  differensiallasak. 

a

у

у

ln





  bo’ladi.  Bundan   

a

y

y

ln





  yoki 

a

a

y

x

ln





      kelib 

chiqadi.  Demak, 

 

a

a

a

x

x

ln





. 

     y=a

u

  murakkab funksiya uchun  

 

u

a

a

a

u

u









ln

   formulaga ega bo’lamiz. 

 

Xususiy  holda    а=е    bo’lsa   

1

ln



e

  bo’lib 

 

x

x

e

e





  va   

 

u

e

e

u

u









  formulalarga  ega 

bo’lamiz. 

   

3-misol.  y=2

х

 bo’lsa, 

y



 topilsin.        

Yechish.  

 

2

ln

2

2

x

x





. 

          4-misol.  

2

3

x

y



 bo’lsa,  

y



 topilsin.     

Yechish.  

 

x

x

y

x

x

x

2

3

ln

3

)

(

3

ln

3

3

2

2

2

2















. 

   

5-misol. 

3

x

e

y



 bo’lsa, 

y



 topilsin.      

Yechish.  

 

2

3

3

)

(

3

3

3

x

e

x

e

e

y

x

x

x













 

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari 

        Teorema.   sinx  funksiyaning hosilasi cosx ga teng. 

         Isboti. y=sinx funksiyani qaraymiz. x  ga  Δх orttirma bersak funksiya  

Δу=sin(x+ Δx)-sinx=2cos



















2

х

х

х

 sin 

2

sin

2

cos

2

2

x

x

x

х

х

х







































 

orttirma oladi. Shuning uchun 

х

у





= 















































2

cos

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

x

x

x

x

x

x

x

x

 

va   











x

y

sin

 =

.

cos

cos

1

2

cos

lim

2

2

sin

lim

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x





































 

Bu  yerda  birinchi  ajoyib  limitdan  hamda  cosx    funksiyaning  uzluksizligidan 

foydalanildi.  

        Shunday qilib, 





x

x

cos

sin





.  

u

y

sin



(bunda u=u(x)) murakkab funksiya uchun 





u

u

u









cos

sin

 formulaga ega 

bo’lamiz. 

    

6-misol.   

sin



y

х

 funksiyaning hosilasini toping.  

Yechish.   

 

x

x

x

x

x

x

y

2

cos

2

1

cos

cos















 . 

    

7-misol.   

x

y

2

sin



 funksiyaning hosilasini toping. 

Yechish.  

















x

x

x

x

x

x

x

y

2

sin

cos

sin

2

sin

sin

2

sin

sin

2

2























. 

   

8-misol.  

 

x

y

ln

sin



 funksiyaning hosilasini toping.  

Yechish.   

  

 

x

x

x

x

y

ln

cos

ln

ln

cos









. 

    

20.6- teorema.  

x

cos

  funksiyaning hosilasi 

x

sin



 ga teng. 

    

Isboti. 

x

y

cos



funksiyani  qaraymiz.  Keltirish  formulasidan  foydalanib  uni 











 





х

x

y

2

sin

cos



 ko’rinishda yozamiz. Demak , 

x

x

х

х

х

x

y

sin

)

1

0

(

sin

2

2

cos

2

sin

)

(cos























 













 



























 















, yoki 





.

sin

cos

x

x







 

u

y

cos



 (bunda   u=u(x)) murakkab funksiyani hosilasini topish uchun  





u

u

u











sin

cos

   formulaga ega bo’lamiz. 

     

9-misol.  

3

cos x

y



  funksiyaning hosilasini toping.  

Yechish.  

 

2

3

3

3

3

sin

sin

x

x

x

x

y















. 

    

10-misol.   

1

cos

2





х

y

  funksiyaning hosilasini toping. 

Yechish. 

































)

1

(

1

2

1

1

sin

1

1

sin

'

2

2

2

2

2

х

х

х

х

х

y

 

1

1

sin

2

1

2

1

1

sin

2

2

2

2





















x

x

x

x

x

x

. 

   

Teorema.   tgx funksiyaning hosilasi  

x

2

cos

1

 ga teng. 

    

Isboti.    tgx=

x

x

cos

sin

    bo’lganligi  sababli  bo’linmani  hosilasini  topish  qoidasiga 

binoan   















x

x

cos

sin

=

x

x

x

x

x

2

cos

)

(cos

sin

cos

)

(sin









=

x

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

cos

sin

cos

cos

)

sin

(

sin

cos

cos













=

x

2

cos

1

.                                                  

Shunday  qilib, 

 

x

tgx

2

cos

1





.    y=tgu    (bunda,  u=u(x))  murakkab  funksiyani 

hosilasini topish uchun 

 

u

u

tgu

2

cos







 formulaga ega bo’lamiz. 

    

11-misol. y=tg

x

1

 funksiyani hosilasini toping. 

Yechish.  



























x

x

x

x

y

1

cos

1

1

1

cos

1

2

2

2

 

   

12-misol.  y=tg

3

x

 funksiyani hosilasini toping. 

Yechish. 





x

x

x

tg

x

x

x

tg

x

tg

x

tg

x

tg

y

2

2

2

2

2

3

3

cos

2

3

)

(

cos

1

3

)

(

3

)

(

























. 

     

20.8-teorema.  ctgx  funksiyaning hosilasi  - 

x

2

sin

1

 ga teng. 

Bu teoremani isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz. 

     

13-misol.   

1

2

2





х

ctg

y

  funksiyani hosilasini toping. 

         





































)

1

2

(

1

2

2

1

1

2

sin

1

1

2

1

2

sin

1

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

y

 

1

2

1

2

sin

2

4

1

2

2

1

1

2

sin

1

2

2

2

2

2

2























x

x

x

x

x

x

. 

Teskari trigonometrik funksiyalar va ularning hosilalari 

1) у=arcsinx funksiya. 

siny

x



 funksiyani qaraymiz. Bu funksiya -

2

2









у

  kesmada 

monoton o’uvchi bo’lib uning qiymatlari 

1

1







х

 kesmani to’ldiradi.  

           Shuning 

uchun 

bu 

funksiya 

aniqlanish  sohasi 





1

,

1





  dan,  qiymatlari 

sohasi 









2

,

2





kesmadan  iborat  teskari 

funksiyaga ega (19.4-teorema). 

         Odatda  uni 

arcsinx

y



  ko’rinishda 

yozish  qabul  qilingan.  Demak 

siny

x



  va 

arcsinx

y



 

funksiyalar 

o’zaro 

teskari 

funksiyalar. 

arcsinx

y



  funksiyaning  grafigi   

101-chizmada tasvirlangan

1],

 

[-1,

D(arcsinx)



 

                                                                                  

101-chizma. 









2

,

2

=

E(arcsinx)





. 

Teorema.  

arcsinx

 funksiyaning hosilasi 

2

1

1

х



 ga teng.. 

Isboti.

arcsinx

y



  funksiyani  qaraymiz. 

siny

x



  funksiya  bu  funksiyaga  teskari 

funksiya bo’ladi. 

O’zaro  teskari  funksiyani  hosilasini  topish  formulasi 

1

1

1

у

х

х

y



  (19.5.teorema)  dan  

foydalanamiz.   

2

2

2

1

1

1

sin

1

1

sin

1

1

cos

1

)

(sin

1

x

y

y

y

y

y

y





















, 

chunki 









2

,

2





 kesmada 

o

 

cosy



 bo’lgani uchun 

y

2

sin

1



 oldidagi plyus ishora olindi.    

Shunday qilib, 





.

1

1

arcsin

2

х

x







  

arcsinu

y



 (bunda, 

u(x)

u



) murakkab funksiya uchun 





2

1

1

arcsin

u

u

u







 

hosilani topish formulasiga ega bo’lamiz. 

    

 14-misol.   

x

arcsine



y

 funksiyani hosilasini toping. 

Yechish.       

х

х

х

x

е

е

е

е

y

2

2

1

)

(

1

)

(













.    

 

15-misol. 

x

y

arcsin

2



 funksiyani hosilasini toping. 

Yechish.   

.

)

1

(

1

1

2

1

2

)

(

1

)

(

2

)

x

2(arcsin

2

х

х

х

х

х

х

y























