Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi

Teorema 2.1 n- noma’lumli ko’phadlar to’plami halqa tashkil qiladi.


Isboti. Teorama isbotini noma’lumlar soniga nisbatan induksiya metodi asosida olib boramiz. n=1 da biz bir noma’lumli ko’phadlar to’plamiga ega bo’lamiz. Ma’lumki bu ko’phadlar to’plami halqa tashkil etar edi va bu halqa

nolning bo’livchilariga ega emas .

Faraz qilaylik teorema k=n-1 hol uchun to’g’ri bo’lsin. Boshqacha aytganda barcha n-1 noma’lumli ko’phadlar to’plami nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan halqa bo’lsin.

Teoremani k=n hol uchun to’g’riligini ko’rsatamiz. P sonlar maydoni ustida berilgan n

noma’lumli ko’phadni 1 ta xn noma’llumli ko’phad deb qarab, bu ko’phad koeffitsentlarining har biri x1 , x2 ,...,xn-1noma’lumli ko’phadlar bo’ladi.

Koeffitsiyentlar to’plamini R[x1 , x2 ,...,xn-1] desak farazimizga asosan

R[x1 , x2 ,...,xn-1] nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan halqalardir.

Ikkinchi tomondan bitta xn noma’lumli ko’phadlar to’plami

R[x1 , x2 ,...,xn-1]ustida qalqa tashkil etadi. Bu halqa biz izlagan n noma’lumli ko’phadlar halqasidan iborat bo’lib, u odatda P[x1 , x2 ,...,xn-1, xn] orqali begilanadi. P[x1 , x2 ,...,xn-1] nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan kommutativ halqa bo’lganligidan P[x1 , x2 ,...,xn-1] ham P sonlar maydoni ustida qurilgan, nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan kommutativ halqadir. Ma’lumki bunday halqalar odatda birlik elementga ega bo’lgan butunlik sohasini tashkil qilar edi. Demak n noma’lumli ko’phadlar to’plami ham birlik elementga ega bo’lgan butunlik sohasidan iborat ekan.

15