|
Глава II. Аналитическая часть.
§1. Предварительная обработка экспериментальных данных.
Полученные результаты измерения представим в виде вариационного ряда, отсортированными по возрастанию:
Образцы заданий для контрольной работы по теме «Фонетическая система старославянского языка».
Возникает вопрос: можно ли по этим данным сделать какие-либо выводы относительно всей совокупности этой величины, как должны формулироваться выводы, если заведомо мы имеем дело со случайной величиной?
Определим статистическое распределение выборки в виде интервальной таблицы частот. Минимальное значение в выборке равно 0,90 максимальное –8,7 размах - R=32.
Определим длину интервала по формуле Стерджеса:
= 4,0.
Для того, чтобы у нас получился вариационный интервальный ряд из 8 одинаковых по ширине интервалов, примем 4,5. Выставим границу первого интервала как = 69,75.
Тогда интервальный вариационный ряд получается в следующем виде:
i
|
Левый конец,
|
Частоты,
|
Средние,
|
Относит.
,
|
|
1
|
69,75
|
6
|
72,00
|
0,06
|
0,0133
|
2
|
74,25
|
7
|
76,50
|
0,07
|
0,0156
|
3
|
78,75
|
13
|
81,00
|
0,13
|
0,0289
|
4
|
83,25
|
18
|
85,50
|
0,18
|
0,0400
|
5
|
87,75
|
27
|
90,00
|
0,27
|
0,0600
|
6
|
92,25
|
14
|
94,50
|
0,14
|
0,0311
|
7
|
96,75
|
10
|
99,00
|
0,10
|
0,0222
|
8
|
101,25
|
5
|
103,50
|
0,05
|
0,0111
|
|
105,75
|
|
|
|
|
|
Сумма=
|
100
|
|
1,00
|
|
Построим по полученному интервальному ряду гистограмму относительных частот, где по оси Ox откладываются плотности относительных частот , совместно с графиком плотности нормального распределения, как наиболее подходящего для описания результатов данного измерения (параметры распределения подсчитаны по интервальному ряду).
Существуют и другие графические представления интервального ряда. Приведем важнейшие из них.
Построим по полученному интервальному ряду полигон частот.
Построим по полученному интервальному ряду эмпирическую функцию распределения, имеющую важное теоретическое значение. На этом же графике построен график функции распределения нормальной случайной величины, с параметрами, оцененными по данной выборке.
§2. Основные статистические характеристики.
Найдем основные статистические характеристики выборки. Все промежуточные результаты вычислений соберем в таблицу.
i
|
Средние,
|
Частоты,
|
|
|
1
|
72
|
6
|
432
|
1574,6
|
2
|
77
|
7
|
536
|
958,2
|
3
|
81
|
13
|
1053
|
673,9
|
4
|
86
|
18
|
1539
|
131,2
|
5
|
90
|
27
|
2430
|
87,5
|
6
|
95
|
14
|
1323
|
555,7
|
7
|
99
|
10
|
990
|
1166,4
|
8
|
104
|
5
|
518
|
1170,5
|
Суммы=
|
100
|
8820
|
6318,0
|
Среднее, =
|
88,2
|
|
Дисперсия, =
|
63,18
|
Среднее квадратичное отклонение, =
|
7,9486
|
Вычисления проводились по формулам: выборочное среднее (оценка математического ожидания генеральной совокупности)
выборочная дисперсия (оценка теоретического значения дисперсии генеральной совокупности)
выборочное среднее квадратическое отклонение
Определим по рисунку гистограммы теоретическую функцию плотности распределения как функцию плотности распределения нормального распределения
,
где теоретические параметры a и заменены точечными оценками, полученными по выборке: a = = 88,2, = 7,95. Функция плотности построена по точка средствами Excel.
§3. Проверка статистической гипотезы.
Примем в качестве нулевой гипотезу H0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, и проверим ее, пользуясь критерием хи-квадрат Пирсона при уровне значимости 0,05.
Определим меру расхождения эмпирических частот и теоретических (ожидаемых) частот по наблюдаемому значению критерия
Все промежуточные расчеты оформим в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
69,75
|
6
|
|
0,040
|
3,96
|
2,04
|
1,047
|
2
|
74,25
|
7
|
0,040
|
0,078
|
7,76
|
-0,76
|
0,075
|
3
|
78,75
|
13
|
0,117
|
0,149
|
14,95
|
-1,95
|
0,254
|
4
|
83,25
|
18
|
0,267
|
0,211
|
21,07
|
-3,07
|
0,447
|
5
|
87,75
|
27
|
0,477
|
0,217
|
21,74
|
5,26
|
1,274
|
6
|
92,25
|
14
|
0,695
|
0,164
|
16,42
|
-2,42
|
0,355
|
7
|
96,75
|
10
|
0,859
|
0,091
|
9,07
|
0,93
|
0,095
|
8
|
101,25
|
5
|
0,950
|
0,050
|
5,03
|
-0,03
|
0,000
|
|
Суммы=
|
100
|
|
1,0000
|
100
|
|
3,548
|
Здесь
–
функция Гаусса распределения случайной нормальной стандартной величины, в которой теоретические параметры a и заменены точечными оценками, полученными по выборке: a=88.2, =7.95. Значения получены с помощью команды Excel «=НОРМ.РАСП(E2;$B$2;$B$3;1)», где в ячейке E2 лежит значение , в ячейке B2 – среднее значение выборки, в ячейке B3 – среднее квадратическое отклонение выборки.
Тогда , (i = 2, 3, 4, 5, 6, 7), .
Наблюдаемое значение статистики = 3,548 (сумма чисел в последнем столбце).
Для распределения с 8 3=5 степенями свободы для уровня значимости 0,05 получим с помощью команды Excel «=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05; 5)» критическое значение (критич) = 11,07. Так как наблюдаемое значение
(критич),
то гипотезу о нормальности распределения выборки отвергать нельзя.
§4. Доверительные интервалы для основных статистических характеристик.
Найдем доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности X, соответствующий надежности :
.
Здесь =88,2, s=7,95, n=100. По таблицам функции Лапласа имеем: =1,96. Тогда = 1,56. Ответ: доверительный интервал есть
(88,64; 89,76).
Найдем доверительный интервал для теоретической дисперсии генеральной совокупности X, соответствующий надежности . Согласно статистике, , имеющей -распределение Пирсона с n 1 степенями свободы, для заданной надежности
.
Здесь s = 7,95, n=100. Значения и получаются по таблицам -распределения с n 1=99 степенями свободы из условий:
,
.
Получили: = 73,36, = 128,42. Тогда доверительный интервал для генеральной дисперсии есть
( 49,197; 86,122).
Соответственно доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения есть
( 7,014; 9,28).
Заключение. Выводы и значение проведенного исследования. Практический смысл результатов исследования.
Итак, статистически доказано: генеральная совокупность представленных экспериментальных данных имеет нормальное распределение.
Теперь открывается возможность обоснованно оценивать вероятности важных с практической точки зрения событий: выход устройства из строя, квантили процесса испарения азота и многих других. И для этого теперь не надо проводить новые эксперименты! Не будем забывать, что один элемент выборки – это результат, возможно, весьма дорогостоящего случайного эксперимента, причем все они должны проходить в одинаковых условиях В современной производственной практике и быстро меняющейся экономической деятельности это трудно себе представить.
Таким образом, мы затронули область статистических исследований, достаточно часто встречающуюся в различных прикладных науках. Наше исследование, показало особенности и преимущества применения статистических методов исследования «производственной» случайной величины.
Использованная литература.
Г. Крамер Математические методы статистики, Изд-во «Мир», М.: 1975, - 648 с.
Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.С. Мхитарян, Е.В. Астафьева, Ю.Н. Миронкина, Л.И. Трошин, - 2-е изд., перераб. и доп.. – М.: Московский финансово-промышленный университет, 2013. – 336 с.
Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник – СПб: Питер, 2001. – 752 с.
Do'stlaringiz bilan baham: |
