Программа для решения слау методом простых итераций

3.2. Программа для решения СЛАУ методом Зейделя
На рисунке 3.2 представлена программа для решения систем алгебраических линейных уравнений методом простых итераций.
Листинг программы приведен в приложении Г.



Рисунок 3.2 - Программа "Метод Зейделя"

3.2.1. Сравнительный анализ
Можно заметить, что в методе Зейделя быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда в методе простых итераций она была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:

Таблица 3.1 - Результаты решения СЛАУ

№ шага	Метод простой итерации	Метод Зейделя
0	x1=1.34 x2=-1.75 x3=0.5 x4=0.65	x1=1.34 x2=-1.75 x3=0.5 x4=0.65
1	x1=1.277 x2=-1.56227 x3=0.3147 x4=0.5335	x1=1.277 x2=-1.57047 x3=0.3324 x4=0.5837
2	x1=1.31335 x2=-1.6127 x3=0.3647 x4=0.5884	x1=1.32469 x2=-1.5974 x3=0.355808 x4=0.58638
3	x1=1.315391 x2=-1.5935 x3=0.34936 x4=0.57867	x1=1.318014 x2=-1.5945 x3=0.354137 x4=0.58556
4	x1=1.3173416 x2=-1.5968 x3=0.35577 x4=0.58589	x1=1.318367 x2=-1.59481 x3=0.35437 x4=0.58554
5	x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462
6	x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557

Заключение
Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Теория этих систем сравнительно проста и доведена во многих частях до совершенства. Что же касается практики решения систем, то наши возможности еще сильно отстают от потребностей. Здесь многое зависит от порядка системы, т. е. от числа уравнений и неизвестных в ней. С увеличением порядка число операций, нужных для решения системы, быстро растет.
Число операций, требующихся для решения, зависит не только от порядка системы, но также от выбора метода вычислений. Поясним это примером. Предположим, что дана система п уравнений с п неизвестными и с оп­ределителем, отличным от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение. В этой теореме указывается явное выражение для значений неизвестных в виде отношения двух определителей порядка я, при этом число различных определителей в отношениях
равно .
Пусть для нахождения решения мы хотим воспользо­ваться теоремой Крамера, при этом детерминанты будем вычислять по их обычному определению, как сумму со знаками произведений элементов по одному из каждой строки и каждого столбца. Легко можно под­считать, что для нахождения решения нужно будет приблизительно п^гп умножений и делений. Уже при п = 20 это число приблизительно равно 10²¹ и являете настолько большим, что становится ясной невозможность решать указанным путем на современных машинах систему даже двадцати уравнений.
Чтобы было возможным решение систем большого числа уравнений, необходимо изменить метод вычислений и сделать его менее трудоемким. Такая задача привлекала внимание очень большого числа лиц, и было указано много методов решения линейных систем, преследующих не только основную цель уменьшения числа, операций, но и другие цели. Эти методы строились как для систем общего вида с любыми коэффициентами, так и для систем специальных форм, например, получающихся при численном решении уравнений. Такими методами являются описанные выше метод простой итерации и его модификация метод Зейделя, позволяющие получать приближенное решение уравнения, затрачиваю при этом меньше числовых операций, чем при точных методах.
В ходе выполнения работы нами была разработана программа на языке VBA, позволяющая находить корни СЛАУ методом Зейделя. Правильность работы программы была проверена аналогичным методом в редакторе MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab. В результате проверки корни СЛАУ, вычисленные программой, и корни, найденные с помощью вышеуказанных средств, совпали. Разработанная программа применима для решения СЛАУ методом Зейделя с другим числом переменных при условии сходимости матрицы коэффициентов.

Список литературы
1. Методические указания к курсовой работе Информатика решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами. Санкт-Петербург, 2004г.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебн. пособие для ВТУЗов. Изд.4-е, испр. М.: Наука, 1970.
3. Зельднер Г.А. Программируем на языке QuickBASIC 4.5 Изд 2-е, исправленное и дополненное, М.: ABF, 1996.
4. Хэлворсон М. Эффективная работа с Microsoft Office 2000. СПб, М, Харьков, Минск: Питер, 2001.
5. Вычислительные методы, том I. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М., Наука, 1976. - 303 с.
6. Калиткин Н.Н. Численные методы - М., Наука 1978. - 512 с.
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/СЛАУ
8. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/equation/linear/linear2.asp