Проектирование раздела «Четырёхугольники» в 8-классе на основе образовательных технологий

Классификация

1. 
   Параллелограмм
   

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1˚ В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2˚ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма:
1˚ Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2˚ Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3˚ Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмма
Задачи
1. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: а) ∠ВАС =∠АСD и ∠ВСА =∠DАС;
б) АВ || СD, ∠A=∠C.
2. Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см, ∠С=30˚, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
4. Найдите углы параллелограмма АВСD, если: а) ∠ А = 84˚;
б) ∠А - ∠В = 55˚; в) ∠А +∠С = 142˚; г) ∠А=2∠В;
д) ∠САD=16˚, ∠АCD = 37˚.
5. На сторонах АВ, ВС, СD и DA четырехугольника АВСD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что АМ = СР, ВN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что четырехугольник АВСD и MNPQ – параллелограммы.
6. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD, - параллелограмм.


Задачи
№1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

Решение: По определению параллелограмма ВС || АD, АЕ — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы ВЕА и ЕАD равны как накрест лежащие. Поскольку ∠ВЕА=∠ВАЕ, треугольник АВЕ — равнобедренный, откуда АВ=ВЕ. Аналогично, треугольник СЕD —равнобедренный и ЕС=СD. Стороны АВ и СD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
.

Ответ: 17.

№2. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение: Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.

2. 
   Трапеция
   

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.