Принцип отражения в множестве натуральных чисел план

Аксиома индукции. Пусть P(n)P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа nn. Тогда: если P(1)P(1) и ∀n(P(n)⇒P(S(n)))∀n(P(n)⇒P(S(n))), то ∀nP(n)∀nP(n) (Если некоторое высказывание PP верно для n=1n=1 (база индукции) и для любого nn при допущении, что верно P(n)P(n), верно и P(n+1)P(n+1) (индукционное предположение), то P(n)P(n) верно для любых натуральных nn).

Теоретико-множественное определение
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• 
  0=∅0=∅
  
• 
  S(n)=n∪{n}S(n)=n∪{n}
  

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

• 
  0=∅0=∅
  
• 
  1={∅}1={∅}
  
• 
  2={∅,{∅}}2={∅,{∅}}
  
• 
  3={∅,{∅},{∅,{∅}}}3={∅,{∅},{∅,{∅}}}
  

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0,1,2,….0,1,2,….
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
Операции над натуральными числами
Сложение
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел a и ba и b. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
Пусть N(S) —N(S) — мощность множества SS. Возьмём два не пересекающихся множества и причём N(A)=aN(A)=a и N(B)=bN(B)=b. Тогда a+ba+b можно определить как: N(A∪B)N(A∪B).
Здесь, A∪B —A∪B — это объединение множеств . В альтернативной версии этого определения множества A и BA и B перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
Другое известное определение рекурсивно: Пусть n+ —n+ — следующее за nn натуральное число, например 0+=1,1+=2.0+=1,1+=2. Пусть a+0=aa+0=a. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: a+(b+)=(a+b)+a+(b+)=(a+b)+. Отсюда 1+1=1+0+=(1+0)+=1+=21+1=1+0+=(1+0)+=1+=2.