|
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
71
𝑉
𝑡
= ∑
𝐵
𝑛
𝑉
𝑡−𝑛
𝑑
𝑛=1
+ 𝐸
𝑡
, (𝑡 = 1, … . , 𝑁),
(2)
где
𝐸
𝑡
= {𝜀
1𝑡
, … , 𝜀
𝑚𝑡
}
𝑇
– векторный дискретный белый шум, причем
M
[
E
t
] = 0,
𝑀[𝐸
𝑛
𝐸
𝑞
𝑇
] = 𝐺𝛿
𝑛
𝑞
,
G
>0;
𝐵
𝑛
= 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝑏
𝑛1
, … , 𝑏
𝑛𝑚
}
– диагональная
матрица размера
m×m
с элементами
{𝑏
𝑛𝑖
}
𝑖=1
𝑚
на главной диагонали.
Модель (2) может быть записана в координатной форме:
𝑈
𝑖𝑡
= 𝑈
𝑖𝑡
𝑇
𝐵
𝑖
+ 𝜀
𝑖𝑡
(𝑖 = 1, … . . , 𝑚; 𝑡 = 1, … . , 𝑁)
Где
𝑏
𝑖
= {𝑏
1𝑖
, … , 𝑏
𝑑𝑖
}
𝑇
𝑈
𝑖𝑡
= {𝑢
𝑖,𝑡−1
; … ; 𝑢
𝑖,𝑡−𝑓
}
𝑇
В [10] предлагается адаптивную оценку
𝜃̂
𝑁
𝐴
вектора параметров
𝜃
вычислять на основе соотношения:
𝑊
𝑁
(𝐵,
̂ 𝐺
𝑁
̂ )𝜃
𝑁
𝐴
̂ = 𝑌
𝑁
(𝐵,
̂ 𝐺
𝑁
̂ ),
(3)
где
𝑊
𝑁
(𝐵,
̂ 𝐺̂
𝑁
) = ∑ 𝑋
𝑡
𝑁
𝑡−1
(𝐵̂)𝐺̂𝑁̂
𝑁
−1
𝑋
𝑁
𝑇
(𝐵̂)
𝐻
𝑁
(𝐵,
̂ 𝐺̂
𝑁
) = ∑ 𝑋
𝑡
𝑁
𝑡−1
(𝐵̂) 𝐺̂𝑁̂
𝑁
−1
𝑌
𝑁
𝑇
(𝐵̂)
𝑋
𝑡
𝑇
(𝐵) = 𝑋
𝑡
𝑇
∑ 𝐵
𝑛
𝑋
𝑡−𝑛
𝑇
𝑑
𝑛−1
𝑌
𝑡
(𝐵) = 𝑌
𝑡
∑ 𝐵
𝑛
𝑌
𝑡−𝑛
𝑑
𝑛−1
𝑊
𝑁
= {𝑤
𝑖𝑗
𝑁
}
𝑖,𝑗=1
𝑝
= ∑ 𝑋
𝑡
𝑋
𝑡
𝑇
𝑁
𝑡−1
𝜃̂
𝑁
= 𝑊
𝑁
−1
= ∑ 𝑋
𝑡
𝑌
𝑡
𝑁
𝑡−1
𝑉̂
𝑡
= 𝑌
𝑡
− 𝑋
𝑡
𝑇
𝜃
𝑁
𝑈̂
𝑖𝑡
= {𝑢̂
𝑖,𝑡−1
; … ; 𝑢̂
𝑖,𝑡−𝑑
}
𝑇
(𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑡 = 1, … , 𝑁)
𝑏̂
𝑖
= (∑ 𝑈̂
𝑖𝑡
𝑈̂
𝑖𝑡
𝑇
𝑁
𝑡=1
)
−1
∑ 𝑈̂
𝑖𝑡
𝑢
𝑖𝑡
𝑁
𝑡=1
(𝑖 = 1, … , 𝑚)
𝐺̂
𝑁
= 𝑁
−1
∑ (𝑉
𝑡
̂ − ∑ 𝐵̂
𝑛
𝑉̂
𝑡−1
𝑑
𝑛−1
) (𝑉
𝑡
̂ − ∑ 𝐵̂
𝑛
𝑉̂
𝑡−1
𝑑
𝑛−1
)
𝑇
𝑁
𝑡−1
.
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
72
Основной уязвимой вычислительной операцией при реализации
рассматриваемого метода оценивания параметров векторной регрессионной
модели с коррелированными ошибками измерений является процедура
решения уравнения (3). Это обусловлено тем, что система уравнений (3) может
быть плохо обусловленной, т.е. малым изменениям исходных данных могут
отвечать большие изменения решения.
Отмеченное обстоятельство при решении уравнения (3) приводит к
необходимости
применения
методов
регуляризации
[11,12].
Для
регуляризации решения уравнения (3) будем использовать регулярные
итерационные методы [13-16].
Условия аппроксимации исходных данных примем в виде
‖𝑊
𝑁
(ℎ)
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
) − 𝑊
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)‖ ≤ ℎ,
‖𝐻
𝑁
(𝛿)
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
) − 𝐻
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)‖ ≤ 𝛿.
де
𝑊
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
и
𝐻
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
– точные значения матричного оператора и
вектора правой части уравнения (3).
Принимая во внимание, что матричный оператор
𝑊
𝑁
(ℎ)
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
является
самосопряженным, для регуляризации решения уравнения (3) используем
метод М.М.Лаврентьева [11,14].
В этом случае, согласно методу
α –
регуляризации Лаврентьева, вместо
некорректного уравнения (3) нужно решать уравнение второго рода
𝛼𝜃
𝐴 𝛼
𝐴
+ 𝑊
𝑁
(ℎ)
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)𝜃
𝐴 𝛼
𝐴
= 𝐻̃
𝑁
(𝛿)
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
),
(4)
где
α >
0 – малый параметр. Решение уравнение (4)
𝜃
𝐴 𝛼
𝐴
= (𝛼𝐸 + 𝑊
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
))
−1
𝐻
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
существует, является единственным и устойчивым. Кроме того, как
показано в,
‖𝜃̂
𝑁𝛼
𝐴
− 𝜃̂
𝑁
𝐴
‖ → 0
при
δ
,
h
→0 и
α
(
δ
,
h
) таком, что
(𝛿 + ℎ)/𝛼(𝛿, ℎ) → 0,
(5)
где
𝜃̂
𝑁
𝐴
– точное решение уравнения (3), т.е. алгоритм, даваемый
уравнением
(4)
при
выполнении
асимптотики
(5),
является
регуляризирующим.
В рамках упрощенной регуляризации в форме М.М. Лаврентьева также
оказываются эффективными итерационные последовательности вида
,
ˆ
,...,
2
,
1
,
0
),
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
1
0
1
H
r
G
B
H
G
B
W
A
N
N
N
A
N
A
N
N
N
A
N
r
r
r
(6)
,
ˆ
,...,
2
,
1
,
0
)),
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
(
))
ˆ
,
ˆ
(
(
ˆ
1
1
0
1
H
r
G
B
H
G
B
W
E
A
N
N
N
A
N
N
N
A
N
r
r
(7)
а также более общая последовательность
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
73
,
ˆ
,...,
2
,
1
),
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
ˆ
))
ˆ
,
ˆ
(
(
1
0
1
H
r
G
B
H
B
G
B
W
B
A
N
N
N
A
N
A
N
N
N
r
r
(8)
,
ˆ
,...,
2
,
1
)),
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
(
))
ˆ
,
ˆ
(
(
ˆ
1
1
0
1
H
r
G
B
H
B
G
B
W
B
A
N
N
N
A
N
N
N
A
N
r
r
(9)
где
В
– некоторый линейный, самосопряженный, положительный
оператор.
Обе последовательности (6) и (4), (9) при точных
𝐻
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
и
𝑊
𝑁
(𝐵̂, 𝐺̂
𝑁
)
дают сходимость к решению
𝜃̂
𝑁
𝐴
уравнения (3), если оно существует и
единственно, т.е.
lim
𝑟→∞
‖𝜃̂
𝑁𝑟
𝐴
− 𝜃̂
𝑁
𝐴
‖ = 0
.
При использовании выше приведенных итерационных алгоритмов
выбор параметра регуляризации
r
можно апостериорным образом
осуществлять по величине невязке [14,15] на основе соотношения вида
.
1
),
(
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
,
,
)
(
,
,
)
(
b
h
b
G
B
H
G
B
W
A
r
i
N
N
A
r
i
N
N
h
N
N
(10)
Приведенные выше соотношения позволяют регуляризовать задачу
оценивания вектора неизвестных параметров
θ
в уравнении (1) и тем самым
повысить точность определения искомого вектора.
Рассмотренные алгоритмы нашли практическое применение в задачах
синтеза многоканальных обзорных информационно-измерительных систем
основных параметров процессов очистки сточных вод и показали свою
эффективность.
Список литературы:
1. Малютин Ю.М., Экало А.В. Применение ЭВМ для решения задач
идентификации объектов. -JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. -256с.
2. Граничин О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и
оценивания: Учеб. пособие. - СПб.: Издательство С. - Петербургского
университета, 2003. -131 с.
3. Сысоев Л.П. Оценивание матриц параметров и ковариаций векторов
возмущений в многомерных динамических системах с дискретным временем
при специальной структуре неизвестных ковариационных матриц //
Автоматика и телемеханика, № 2, 2010. -С. 192- 206.
4. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с
англ. // Под. ред. Я.З.Цыпкина. -М.: Наука. 1991. -432 с.
5. Applied regression analysis: a research tool. — 2nd ed. / John O. Rawlings,
Sastry G. Pentula, David A. Dickey. 1998. 671p.
6. D.C. Montgomery, E.A. Peck, G.G. Vining, Introduction to Linear
Regression Analysis, 4th edn. Wiley Series in Probability and Statistics (Wiley, New
York, 2006)
7. Karel J. Keesman System Identification. 2011. 333 P-
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
74
8. C. Heij, A. Ran, F. van Schagen, Introduction to Mathematical Systems
Theory: Linear Systems, Identification and Control (Birkhauser, Basel, 2007)
9. J.B. Moore, R.K. Boel, Asymptotically optimum recursive prediction error
methods in adaptive estimation and control. Automatica 22(2), 237-240 (1986)
10. Панков A.P. Оптимизация алгоритмов оценивания параметров
стохастических систем в условиях неопределенности // Автоматика и
телемеханика, №7, 1985. - С. 110-119.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -
М.: Наука, 1979. - 285 с.
12. Некорректные задачи естествознания // Под ред. А.Н.Тихонова,
А.В.Гончарского. -М.: Изд-во Москв. ун-та, 1987. - 299 с.
13. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения
некорректных задач. М.: Наука, 1989.-128 с.
14. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в
некорректных задачах. М.: Наука, 1986.
15. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные
методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1988.
16. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы,
алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. - 542 с.
Do'stlaringiz bilan baham: |
