|
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
543
взаимодействия и теплообмена между фазами, которые в данном случае
приняты постоянными, зависящими от диаметра
𝑑
0
и плотности
𝑝
00
частиц,
𝑅
1
−
газовая постоянная,
𝑐
1
𝑐
2
−
коэффициенты теплоемкости.
Рис.1. Контур обтекания угла больше
180°
потоком газа с твердыми
частицами.
𝐾
системе
(1) − (6)
, справедливой в области I, применяется метод
линеаризации при
𝑢
𝑛
= 𝑢
0
+ 𝑢
𝑛
`
, 𝜌
𝑛
= 𝜌
𝑛0
+ 𝛿
𝑛
, 𝜌
1𝑖
= 𝜌
0
+ 𝜀
1
𝑇
𝑛
= 𝑇
0
+ 𝑇
𝑛
`
, 𝑝 = 𝑝
0
+ 𝑝
`
}
, (7)
где
𝑢
0
,
𝜌
𝑛0
,
𝑝
0
,
𝜌
0
,
𝑇
0
−
постоянные;
𝑢
𝑛
`
,
𝜀
𝑛
,
𝛿
𝑛
,
𝑇
𝑛
`
,
𝑝
`
−
малые величины,
индексы 1 и 2 соответствуют параметрам газа и частиц.
В случае безвихревого потенциального течения
(1) − (6)
с учетом (7)
принимают вид
𝐴
1
𝜕
3
𝜑
1
𝜕𝑥
3
+ 𝐴
2
𝜕
3
𝜑
1
𝜕𝑥𝜕𝑦
2
+ 𝐴
3
(
𝜕
3
𝜑
2
𝜕𝑥
3
+
𝜕
3
𝜑
2
𝜕𝑥𝜕𝑦
2
) − 𝐴
4
𝜕
2
𝜑
1
𝜕𝑥
2
+ 𝐴
5
𝜕
2
𝜑
1
𝜕𝑦
2
+ 𝐴
6
𝜕
2
𝜑
2
𝜕𝑥
2
+
𝐴
7
𝜕
2
𝜑
2
𝜕𝑦
2
+ 𝐴
8
(
𝜕𝜑
2
𝜕𝑥
−
𝑑𝜑
1
𝑑𝑥
) = 0
, (8)
𝐵
1
𝜕𝜑
1
𝜕𝑥
− 𝐵
2
𝜕𝜑
2
𝜕𝑥
= −𝐵
3
(𝜑
1
− 𝜑
2
)
; (9)
𝜑
1
, 𝜑
2
−
потенциалы скоростей,
𝐴
𝑖
(𝑖 = 1,8
̅̅̅̅), 𝐵
𝑗
(𝑗 = 1,3
̅̅̅̅) −
известные
постоянные коэффициенты, зависящие от числа Маха в газе, концентрации и
коэффициента взаимодействия фаз.
Так как пристеночную область II занимает газовая среда, то для
потенциала скорости
𝜑
3
возмущенного потока
𝜑
3𝑦𝑦
= 𝜇
2
𝜑
3𝑥𝑥
(𝜇
2
= 𝑀
1
2
− 1)
. (10)
Давление и температура потока на твердой поверхности находятся по
уравнениям Бернулли и энергии [11] в конечной разности. Такая
аппроксимация уравнения энергии будет тем точнее, чем меньше толщина
пристеночной области II.
Пусть линия раздела фаз задана прямой и образует с осью
𝑥
угол
𝛽
0
.
Очевидно, что эта линия представляется как граничная линия тока частиц,
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
544
через которую газ свободно проходит в область II. Поэтому для
(8) − (10)
имеем граничные условия при
𝑦 = 0, 𝜑
2𝑦
= −𝑢
0
𝛽
0
, 𝜑
1𝑦
= 𝜑
3𝑦
, 𝜑
1𝑥
= 𝜑
3𝑥
. (11)
Добавим, что скорости двухфазной системы в бесконечности
ограничены и на характеристике
𝜑
1
= 𝜑
2
= 0
(12)
На твердой границе выполняется условие обтекания газовой средой, т.
е. при
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝜑
3𝑦
= −𝑢
0
𝛽(𝑥), [𝛽(𝑥) =
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
]
; (13)
здесь
𝛽(𝑥) −
угол наклона касательных к элементам криволинейной
стороны угла, который зависит от формы линии раздела, структуры потока,
является неизвестной функцией и подлежит определению в процессе решения
задачи.
Применяя к (8), (9) преобразование Лапласа[12], по
𝑋
легко получить
решения (8), (9), удовлетворяющие граничным условиям (11) и (12):
𝜑
1
(𝑥, 𝑦) = 𝑢
0
𝛽
0
𝑒
−𝑎
0
𝑦 𝜌
00
𝜌
0
∑
𝑏
𝑣
∞
𝑣=0
{
𝑡
∗𝑣+1
(𝑣+1)!
+ ∑
𝑐
𝑥
0
∞
𝑥=1
𝑡
∗𝑣+𝑥+1
(𝑣+𝑥+1)!
−
𝑘
𝜌
10
𝜌
0
𝜌
20
(
𝜌
00
𝜌
0
− 1) [∫ 𝑓
1
(𝑡
∗
− 𝜏)𝑓
3
(𝜏)𝑑𝜏 + ∑
𝑐
𝑥
0
∫ 𝑓
2
(𝑡
∗
− 𝜏)𝑓
3
(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
∗
0
∞
𝑥=1
𝑡
∗
0
]}
,
𝜑
2
(𝑥, 𝑦) = 𝑢
0
𝛽
0
𝑒
−𝑎
0
𝑦
∑
𝑏
𝑣
[
𝑡
∗𝑣+1
(𝑣+1)!
+ ∑
𝑐
𝑥
0 𝑡
∗𝑣+𝑥+1
(𝑣+𝑥+1)!
∞
𝑥=1
]
∞
𝑣=0
, (14)
где
𝑡
∗
= 𝑥 − 𝑤𝑦, 𝑤
2
= −
𝐴
1
𝐵
2
+𝐴
3
𝐵
1
𝐴
2
𝐵
2
+𝐴
3
𝐵
1
,
𝑓
1
(𝑡
∗
) =
𝑡
∗𝑣+1
(𝑣+1)!
,
𝑓
2
(𝑡
∗
) =
𝑡
∗
𝑣+𝑥+1
(𝑣 + 𝑥 + 1)!
𝑓
3
(𝑡
∗
) = 𝑒
−
𝐵
3
𝐵
1
𝑡
∗
,
𝑎
0
, 𝛼
1
, 𝛼
2
, 𝛽
1
, 𝛽
2
, 𝑏
𝑣
, 𝑐
𝑥
0
−
известные постоянные коеффициенты. Теперь с
учетом (14) и уравнений движения и энергии (1), (3) легко получить формулы
для давления и температуры на линии раздела фаз.
Уравнение (10) имеет решение
𝜑
3
(𝑥, 𝑦) = 𝑓
1
(𝑥 − 𝜇𝑦) + 𝑓
2
(𝑥 + 𝜇𝑦)
; (15)
функции
𝑓
1
(𝑥)
и
𝑓
2
(𝑥)
с учетом (11), известны из решения (14) в области
течения двухфазной среды, не приводятся. Подставляя (15) в (13), получаем
дифференциальное уравнение первого порядка относительно
𝑓(𝑥)
,
определяющее формы твердой поверхности.
Аналогично решена прямая задача , т.е. при заданном значении угла
𝛽
00
твердой поверхности с осью
𝑋
в ходе решения найдены параметры областей I,
II и форма поверхности линии раздела фаз.
«Yangi O‘zbekistonda islohotlarni amalga oshirishda zamonaviy axborot-kommunikatsiya
texnologiyalaridan foydalanish» mavzusida Xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya
Andijon
27-29 oktabr 2021 yil
545
Аналогично решена прямая задача , т.е. при заданном значении угла
𝛽
00
твердой поверхности с осью
𝑋
в ходе решения найдены параметры областей I,
II и форма поверхности линии раздела фаз.
Рис. 2. Распределение давления потока газа и температуры газа (штрих
с пунктиром) в области обтекакания.
Для конкретного расчета рассмотрим случай
𝑣
0
= 0 , 𝑥 = 1
и используем
для нахождения коэффициента взаимодействия фаз закон сопротивления
Стокса сd=24/Re. Тогда результаты для пароводяной смеси [10] при
𝑝
0
= 10
атм, соответствующие начальным параметрам
𝑇
0
= 481 град, 𝑐
1
= 4,8 ∙ 10
3
м
2
сек
2
⁄
∙ град,
𝑐
2
= 4,4 ∙ 10
3
м
2
сек
2
⁄
∙ град, 𝛽
0
= 0,0875,
𝑀
1
= 1,85 , 𝜌
00
𝜌
0
= 1,8 , 𝜌
0
= 0,5 кг ∙ сек
2
м
4
,
⁄
⁄
𝜌
00
= 0,9 кг ∙ сек
2
м
4
, 𝜌
10
= 0,45 кг ∙ сек
2
м
4
⁄
⁄
и коэффициентам
𝐾, 𝛾
для различных значений диаметра частиц
𝑑
0
,
представлены на рис. 2. Согласно расчетам, толщина пристеночной области II
зависит от концентрации и диаметра частиц, т.е. чем мельче частица, тем
тоньше область II, и при
𝑑
0
= 10
−5
см
она почти исчезает, тогда, по-
видимому, поток должен рассматриваться как односкоростной. Параметр
двухфазного потока меньше параметра чистого газа, следовательно,
возмущенная область I становится шире возмущенной области чистого газа.
Кривые приращения давления смеси газа и частиц на рис. 2 по
абсолютной величине выше соответствующих кривых однофазного потока
𝑝
1
,
а кривая распределения температуры газа
(𝑇
3
= 𝑇
3
`
𝑇
0
⁄ )
на твердой
Do'stlaringiz bilan baham: |
