Приложения теории вероятностей в биологии

Приложения теории вероятностей в биологии.
Белимова Ольга Федоровна, студент,
кафедра неорганической и физической химии
химико-фармацевтического факультета, СКФУ
научный руководитель Копыткова Л. Б., доцент,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры Математического
анализа, алгебры и геометрии Факультета математики и
компьютерных наук им. проф. Н.И. Червякова, СКФУ
E-mail: [e-mail]

Аннотация: теория вероятностей применяется во многих областях науки. В этой статье рассматриваются приложения данного раздела математики, а именно в генетике.

Ключевые слова: теория вероятностей, биология, генетика, законы Менделя
Abstract: the theory of probability is applied in many fields of science. This article discusses the application of this section of mathematics, namely in genetics.
Keywords: probability theory, biology, genetics, Mendel's laws

В современном мире решение любой практически значимой задачи невозможно без применения математических знаний. Реальные процессы подчиняются определенным математическим законам, установление которых позволяет теоретически предсказать возможный результат [3]. Теория вероятностей - один из разделов математики, который изучает закономерности, присущие различным случайным событиям. Этот раздел достаточно широко используют во многих экономических задачах, в страховом деле, в биологии, в физике и в других науках, а так же в сборке техники и в военном деле [4].

Большинство случайных событий подчиняется определенным вероятностным закономерностям, которые устанавливает теория вероятностей.
Теория вероятностей применяется в одном из разделов биологии - генетике. Для этого рассмотрим законы Менделя.
Грегор Иоганн Мендель — чешско-австрийский биолог-генетик, монах-августинец, аббат. Основоположник учения о наследственности. Открытие им закономерностей наследования моногенных признаков стало первым шагом на пути к современной генетике [5].
На первом примере рассмотрим задачу о наследовании гемофилии. Такие часто встречаются в ЕГЭ по биологии.
Гемофилия наследуется вместе сцеплено с полом. Пол определяют гены от отца. H – доминантный. Генотип определяет фенотип: здоровая женщина; - здоровая женщина-носитель; - здоровый мужчина; - больной мужчина; - больная женщина.
При скрещивании здоровой женщины и больного мужчины получаются: - .
То есть вероятность появления гетерозиготы и здоровых детей в первом скрещивании равна 1. Это 1 закон Менделя.
При случайном скрещивании людей с генотипами образуется поколение F₂, в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: .
II закон Менделя: В поколение F₂ происходит расщепление генотипов в отношении 3:1.
Из этого закона следует, что для поколения F₂ вероятность того, что в фенотипе проявляется доминантный признак, равна ¾, а вероятность того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна ¼: P( )= , P( )= по классическому определению теории вероятностей , m – число благоприятных событий, n – число всех событий.[1]
Рассмотрим ещё один случай с родителями – женщиной-носительницей и больным отцом. Поколение возможных детей: . В этом случае вероятность рождения больного ребенка равна вероятности рождения здорового и равна 0,5, вероятность рождения больной девочки равна вероятности рождения больного мальчика, равна вероятности рождения девочки-носительницы и равна вероятности рождения здорового мальчика и равна 0,25. В современном мире вероятность рождения девочки-гемофилика стремится к 0.
Рассмотрим ещё третий пример. Рождение детей с геномными мутациями тоже прогнозируются по законам правилам вероятности. Пусть А – рождение больного синдромом Дауна ребенка, В – рождение здорового. Считаем вероятности по классическому определению: , для мам до 35 лет. , для 40-летних мам.[7]
Четвертым примером рассмотрим закон Харди – Вайнберга.
Закон Харди - Вайнберга — положение популяционной генетики, гласящее, что в популяции бесконечно большого размера, в которой не действует естественный отбор, не идет мутационный процесс, отсутствует обмен особями с другими популяциями, не происходит дрейф генов, все скрещивания случайны — частоты генотипов по какому-либо гену (в случае если в популяции есть два аллеля этого гена) будут поддерживаться постоянными из поколения в поколение и соответствовать уравнению: [8].
Возьмем три различных генотипа присутствия и отсутствия гемофилии: : Доля первого генотипа равна 2v, доля второго генотипа равна t и доля третьего генотипа равна .
Под этим понимается следующее: если взять некоторых людей N, участвующих в исследовании , то людей со вторым генотипом в ней tN, людей с первым генотипом в ней 2vN и людей с третьим генотипом в ней N.[9]
При этом, так как
(1)
Подсчитаем число генов . Все женщины доминантного генотипа имеют генов (у каждой два гена , и всего tN), женщины-носительницы имеют генов (у каждой один ген , и всего 2vN).Таким образом, число доминантных генов равно:
(2)
или,
где
(3)
Число р – это Р(), т.е. вероятность того, что случайно выбранный ген доминантен.
Действительно, доминантных генов 2Np, и всех генов 2N[9]. Таким образом,
(4)
по классическому определению вероятности
Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов равно
где
(5)
При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:
(6)
по классическому определению вероятности
Из вероятностного смысла чисел p и q следует, что

Числа t, 2v и также имеют вероятностный смысл, считаем по классическому определению вероятности
, (8)
, (9)
. (10)
– вероятность того, что случайно выбранный человек имеет генотип , также и . )
Пусть дети F₁ имеют такую же структуру. Тогда так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность t₁ может рассматриваться как вероятность следующего события: выбрали наудачу и независимым образом из всего запаса 2 гена . Так как выбрать каждый ген можно с вероятностью р (формула 4), то по теореме умножения вероятностей независимых событий ( P(A)*P(B)) [2]интересующая нас вероятность равна р², т.е.
(11)
Аналогично с использованием формулы (6) получаем:
(12)
Вероятность генотипа : потомков складывается из двух возможностей – либо ген : получен от здоровой матери или от матери-носительниццы, а ген, или от матери-носительницы или от больного отца – соответствующие вероятности есть pq и qp. Следовательно, вероятность генотипа гетерозиготы потомков равна 2pq, т.е. 2v₁=2pq. Отсюда:
(13)
Следовательно,
(14)
Если для потомства взять
и , как это делалось для родителей в формулах 3 и 5, то получим те же самые числа p и q. Действительно, имеем[9]:
(15)

закон Харди-Вайнберга[8].
На практике отклонение есть почти всегда, однако для больших популяций закон Харди-Вайнберга остается в силе. Вероятность получения рецессивного признака равна q², вероятность получения доминантного равна 1- q² (как для противоположного события) и их отношение равно .
Для потомства q=0,5, мы получаем тоже соотношение - 3:1[9].
В заключении хочу сказать, что правила теории вероятностей помогают спрогнозировать результаты исследований не только математических, но и других: физических, биологических, экономических, медицинских и так далее.
Литература

1. 
   Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – ФГУП «Высшая школа», 2003. – 8 с.
   
2. 
   Л.И.Дюженкова, О.Ю.Дюженкова, Г.А.Михалин. Практикум по высшей математике 2 часть. – «Москва БИНОМ. Лаборатория знаний», 2009 – 355 с
   
3. 
   Крутова О.В., Применение теории вероятностей для исследования событий, связанных с наследованием группы крови. Крутова [электронный ресурс] //https://files.school-science.ru/pdf/3/31691.pdf
   
4. 
   Логинова Я.А., Шабалина Т.В., Применение теории вероятностей в прикладных исследованиях //[электронный ресурс] https://scienceforum.ru/2017/article/2017035974
   
5. 
   [электронный ресурс] //https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%93%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80_%D0%98%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD
   
6. 
   [электронный ресурс] //https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F#:~:text=%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%20%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%8F%20%D0%B3%D0%B8%D0%B1%D1%80%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20(%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD
   
7. 
   [электронный ресурс] //https://helix.ru/kb/item/726
   
8. 
   [электронный ресурс] //https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8_%E2%80%94_%D0%92%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B0
   
9. 
   Кантемирова Д., Элементы теории вероятностей в генетике [электронный ресурс] //https://pandia.org/text/80/198/8782.php