«Predikatlar algebrasining simvollari, tili. Predikatlar mantig’ida formula tushunchasi.»

Masalan:X=N,515to’plamida

A(x): “x son 2 ga karrali” T_A=6;8;10;12;14

B(x): “x son 5 ga karrali” T_B=5;10;15 bo’lsa, A(x) B(x) mulohazani chinlik to’plami T=105;7;9;11;13;15 n 6;7;8;9;11;12;13;14)=107;9;11;13=5;9;11;13;15 bo’ladi.
Topshiriqlar

1. Quyidagilar predmet bo‘ladimi? Javobingizni asoslang.

a) “5 soni 25 sonini bo‘luvchisi”

b) “Maymun sudrilib Yuruvchi xayvon”

s) “X sut emizuvchih xayvon”

d) “x o‘simlik archa bargli?”

ye) “x jonzod o‘ladi”

2. Quyidagi predikatlarni chinlik to‘plamini toping.

a) A(x)” x soni 12sonini bo‘luvchisi”

b)V(x)  “3 x<9 xN”

s) A(x)  “x²-2 x=0”  xg‘”

d) V(x)  “x²+10” xR”

X= {0;1} to‘plamda

3. A = {1; 2; 3; 4; 5;6; 7;8;9} to'plamda S(x): «2x -21 < 12» predikat berilgan bo'lsa:

a) S (1), S (2), S (3), S (4), S (5), S (6), S (7), S (8), S (9)

fikrlarni chinlik qiymatini toping.

b) Olingan javoblarga asoslanib A(x) predikatning chinlik to‘plamini yozing.

c) (xA) A (x) predikat chin yoki yolg‘onligini tasdiqlash mumkinmi? Javobingizni asoslang.

4. {xxN x5}to‘plamida V(x): 0 x² - 9

Predikat berilgan bo‘lsa

a) V(1), V(2), V(3), V(4), V(5) fikrlarni chinlik qiymatlarini toping, hamda chinlik to‘plamini yozing.

A = {4; 5; 6; 8; 9; 10} to'plamda C(x): «2x - 1 < 15» predikat berilgan bo'lsa:

a) (4), C(5), C(6), C(8), C(9), C(10) fikrlarning jinlik qiymatini toping;

5. A(x): “14:7+3x=5” va V (x): “x tub son” predikatlari berilgan bo‘lsa, quyidagilarning chinlik qiymatini toping.

a) A(x)B(x) f) A(x)B(x)

b) A(x)B(x) g)A(x)B(x)

s) A(x)B(x) x) V(x) A(x)

d) A(x)B(x) i) A(x)B(x)

ye) A(x)B(x) j) A(x)B(x)

6. X= {xxN, x 6} to'plamda B(x): «x² - 3 < 18» predikat berilgan bo'lsa:

a)B(1), B(2), B(3), B(4), B(5). B(6) fikrlarning jinlik qiymatini toping;

b)olingan javoblarga asoslanib, B(x) predikat (xA)da rost bo'ladi deb tasdiqlash mumkinmi? Javobingizni asoslang.

A = {xxN, x7} to'plamda «x² - 13 < 0» predikat berilgan. Uning jinlik to'plamini toping.

X= {xxN, x21} to'plamda B(x): «x — tub son» predikat beril­gan. Uning inkorining jinlik to'plamini toping

Y={yyN, x18} to'plamda A(x): «X — tub son», B(x): «x —toq son» predikatlar berilgan bo'lsa, A(x), B(x), A(x)vB(x)A(x)B(x) larning jinlik to'plamini toping.

X = to'plamda C(x): «x — natural son», Dx):«x — kasr son» predikatlar berilgan bo'lsa,

a)C(l)D(l); b) C{-2)\/D{-2) ; d) C(2)aD(0) larni so'z orqali ifodalang va jinlik qiymatini toping.

X= to'plamda C(x): «x — butun son», D(x): «x —kasr son» degan predikatlar berilgan bo'lsa,

a) _CD b) _CD d) _CD e) _CD larning rostligini aniqlang.

Butun sonlar to'plamida D(x): «x: 3» va C(x): «x sonini 3 ga bo'lganda 1 qoldiq qoladi» predikatlari berilgan. x = 4, x = 6, x = 7, x = 9, x = 10 bo'lgandagi predikatlar qiymatini toping va ularni solishtiring. C(x) va D(x) predikatlar biri ikkinchisining inkori bo'ladimi? Olingan ma'lumotlarga asoslanib javobingizni asoslang.

Har qanday matematik fan shu fanda qaralayotgan ob’ektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko‘radi. Logika va to‘plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida shunday mulohazalar formula ko‘rinishida ifodalanishi mumkin.

Quyidagi asosiy matematik tushunchalar ta’rif va teoremalarni predikatlar algebrasi tili yordamida qanday ifodalash mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

Ta’rif chap tomoni yangi kiritilayotgan (aniqlanayotgan) simvol, o‘ng tomoni esa ma’lum simvollardan tuzilgan ifodadan iborat bo‘lgan tenglik yoki ekvivalentlik yordamida ifodalanishi mumkin.

Ta’rifni bildiruvchi formulalarni boshqa formulalardan farqlash uchun bu formulalardagi “teng” likning (ekvivalentlikning) ostiga (yoki ustiga) df harflar qo‘yiladi. Masalan, berilgan asosga ko‘ra x haqiqiy sonning logarifmi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

f(x) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi esa quyidagi formula bilan ifodalanadi: f(x) funksiya x=x₀ nuqtada uzluksiz

.

Butun sonlar arifmetikasini ma’lum teoremasida (“Agar a s ga bo‘linsa va bc ga bo‘linsa, u holda a+b c ga bo‘linadi”), “x, u ga bo‘lnadi” munosabatini P(x,y) bilan belgilasak, bu teorema quyidagi ko‘rinishda yozilishi mumkin:

(1)

Odatda yuqorida qayd qilingan munosabatni ko‘rinishida belgilanadi; shunday qilib, (1) ni quyidagicha yozish mumkin:

Yana bir necha misollar bilan tanishamiz. Predikatlar algebrasi tilidan matematikada, yuqorida aytilganidek, ta’riflar, teoremalar (va ularning isboti)ni yozishda hamda tenglama va tengsizliklar (yoki ularning sistemalari)ni va boshqa masalalarni echishda keng foydalansa bo‘ladi.

1-misol. Halqa aksiomalari predikatlar algebrasi tili yordamida quyidagicha yoziladi:

algebra – halqa

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2-misol. “Tub son” tushunchasini quyidagicha yozish mumkin:

- tub son

;

Bunda “%” – “bo‘linmaydi” degan munosabatdir. “r – tub son” degan iborani Q(p) bilan belgilaylik.

Natural sonlar arifmetikasining quyidagi teoremasini ko‘raylik.

1-teorema. Agar n murakkab son bo‘lib, r – uning eng kichik tub bo‘luvchisi bo‘lsin, u holda bo‘ladi.

Ushbu teorema predikatlar algebrasi tili yordamida quyidagicha yoziladi:

Bu teoremaning isbotini predikatlar algebrasi tili yordamida keltiramiz.

Isbot

3-misol.

teoremani isbotlang.

Isbot:

;

(bu erda R –haqiqiy sonlar to‘plami).

4-misol. Haqiqiy sonlar maydonida

tenglamani eching.

Echish:

Yuqorida ko`rdikki, predikatlar - o`zgaruvchining ba’zi qiymatlarida rost, ba’zi qiymatlarida yolg`on bo`lganidek, «barcha lar uchun» rost va «ba’zi bir - lar uchun» rost bo`ladigan predikatlar mavjud ekan.

Matematikada «barcha lar uchun» degan jumla qisqacha kabi, «ba’zi bir - lar uchun» degan jumla esa qisqacha kabi yoziladi.

Masalan, ( ) (1) yozuvi « to`plamning barcha elementlari uchun predikat rost»; ( ) (2) yozuvi esa « to`plamning shunday elementi mavjudki, bu element uchun predikat rost» yoki « to`plamda predikat rost bo`ladigan elementlar mavjud» deb o`qiladi. belgi umumiylik kvantori deb, belgi esa mavjudlik kvantori deb ataladi.

1. 
   va (2) mulohazalar kvantorli mulohazalar deb ataladi.
   

Ikki, uch,..., o`rinli predikatlar vositasida ham kvantorli mulohazalar hosil qilish mumkin.