Практикум по основам надежности технических систем. Методические указания к выполнению практических работ и самостоятельной работы для студентов факультета инженерной механики М.: Ргу нефти и газа имени И. М. Губкина, 2018 г. 65 с

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ², если ее плотность вероятности определяется зависимостью:
, (4.1)
где а – математическое ожидание случайной величины M(Х);
σ² – дисперсия D(X) случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины при нормальном законе распределения
(4.2)
Дисперсия случайной величины Х
(4.3)
Функция распределения случайной величины Х при нормальном законе, определяется по формуле
(4.4)
Данный интеграл в классе элементарных функций не вычисляется, его можно выразить через функцию Лапласа Ф(х) по формуле
, (4.5)
где – функция Лапласа, вычисляемая по таблицам (Приложение 1):
. (4.6)
Заменяя случайную величину Х на время t, вероятность отказа и вероятность безотказной работы можно определить по формулам
, (4.7)
. (4.8)
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [t₁, t₂] составит
. (4.9)
Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ>0 с плотностью вероятности
(4.10)
Функция распределения случайной величины X, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону определяется по формулам
(4.11)
Математическое ожидание
. (4.12)
Дисперсия
. (4.13)
Для экспоненциального распределения математическое ожидание случайной величины равно среднему квадратическому отклонению
(4.14)
Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла и гамма-распределения.
Вероятность безотказной работы и отказа определяется по формуле
, (4.15)
. (4.16)
Плотность распределения при распределении Вейбулла выражается зависимостью
, (4.17)
где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба.
При α=1 экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
Интегральная функция распределения для закона Вейбулла
. (4.18)
Математическое ожидание
, (4.19)
и среднее квадратическое отклонение, соответственно
(4.20)
где - гамма-функция.

3.