Практикум j практическое примщенше численных методов

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pit
import scipy.integrate as integrate
def f(x):
return np.exp(-4*x)*np.sin(4*np.pi*x)
m = 101
x = np.zeros((m), ’float’) у = np.zeros((m), ’float’) yl = np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): x[i] = i/(m-l.)
y[i] = integrate.quad(f, 0, x[i])[0] ylCi] = f(x[i])
plt.fill(x, f(x), ’g’, label=’$f(x)$’)
pit.plot(х, у, label^=,$\\int_o"x f(t) dt$0

10. 
    = integrate.quad(f, 0, 1)[0]
    
11. 
    = integrate.trapz(yl, x)
    
12. 
    = integrate.simps(yl, x) print ’int(quad): * , 10 print ’int(trapz):’, II print ’int(simps):’, 12 pit.Iegend(loc=0) plt.xlabelOSxS’)
    

pit.grid(True) pit.show()
Для сеточных функций используются квадратурные формулы трапеций и Симпсона (функции trapzO и simpsO соответственно). На основе процедур интегрирования по одной переменной реализованы так же функции интегри­рования по двум и трем переменным (dblquadO и tplquadO).
Отдельного внимания заслуживают возможности решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В модуле integrate для таких задач используются функции ode О и odeintO. Они предназначены для решения задач как для нежестких, так и жестких систем ОДУ.
Рассмотрим задачу Коши (модель Лотка—Вольтерра)
= Уо - УоУи ~tt⁼~yi⁺ У°У'’ 0 < < < Т, 2/о(0) = Уо, 2/1 (0) = у°.
Система уравнений записывается в векторном виде
d
F(Y,t), 0
F(Y,t) =
Y dt
при
У
Уо
У\

У =
о ~ 2/o2/i . “2/1 + 2/o2/i
В программе решение получено с помощью функции odeintO на интервале [0,10] (см. рис. 3.50).
import numpy as np import matplotlib.pyplot as pit import scipy.integrate as integrate def f(y, t):
return [y [0] - y[0]*y[l],
-y [1] + y[0]*y[l]] t = np.linspace(0, 10, 1000)


Рис. 3.51 Задача Коши для системы ОДУ



уО = [2, 2]
Y = integrate.odeint(f, уО, t) rO, rl = Y.T
pit.plot(t, rO, labelsSy.OSO
pit.plot(t, rl, ’ —label^Sy.lSO
pit.legend(loc=0)
pit .xlabelOStJO
pit.grid(True)
pit.show()
При использовании функции odeint () для решения задачи Коши для систем ОДУ можно повысить вычислительную эффективность за счет аналитиче­ского задания матрицы Якоби (якобиан, производные правых частей систе­мы).

5. 
   Другие математические пакеты
   

Вы многое найдете, пакет символьных вычислений SymPy, разреженные мат­рицы (SciPy.sparse), PyAMG — многосеточный метод, элемеР1ты графического интерфейса пользователя (formlayout).