Практикум j практическое примщенше численных методов

import numpy as np
aO = np.linspace(l.,10.,10)
print ’aO:\n’, aO
a2 = np.copy(aO)
al = np.reshape(aO, (2, 5))
print ’al:\n’, al
a2.shape = (-1,50
print ’a2:\n>, a2
a3 = np.resize(a2, (3, 4))
p
al


a2 :


a3 ;


1


1.
6
1
6.


2
7.


2.
7.


til!


10,


шяшятщ
iiiiiiiii


ill!!
Jo и

rint ’a3:\n’, a3

;i|l	lllill	IIl|g|::|l	iifi
111	ISlill	lllill	ill:
111	lllflll	lllill	III

Здесь используется -1 при выборе формы массива (в нашем примере (2,-1)) для неявного задания числа элементов по одной оси массива — вычисляется по общему числу элементов.
Для изменения элемента массива используется доступ по индексу, а для части массива — получение среза. Некоторые основные возможности иллюстриру­ются следующим примером.
import numpy as np
a = np.reshape(np.1inspace(1,12,12),(3,4)) print ’a:\n’, a
print ’element (2,3): ’, a[2,3] print ’row 1: ’, a[l] print ’last row: ’, a[-1,:] print ’column 1: ’, a[:,1] print ’window 2x2: \n’, a[l:3,0:2]





Запись массива в файл (бинарный, NumPy формат, расширение .пру) произ­водиться функцией save (), а чтение из файла — load О.
import numpy as np
a = np.reshape(np.1inspace(1.,8.,8),(2,4))
print ’a:\n’, a
np.save(’c:/tmp/data.npy’, a)
al = np.load(’c:/tmp/data.npy’)
print ’al:\n’, al
Математический Python
При чтении и записи массивов в текстовый файл используются функции tofileO и fromfileO.
Математические функции
В N urn Ру реализованы стандартные арифметические операции над элемента­ми массивов (табл. 3.3).
Таблица 3.3 Арифметические операции над массивами
О
Функция
add(x,у) subtract^, у) multiply(x, у) divide(x, у) power(a:,y) negative(x)
писание
поэлементное сложение поэлементное вычитание поэлементное умножение поэлементное деление поэлементное возведение в степень изменение знака элементов массива
Примеры использования арифметических поэлементных операций над мас­сивами:
import пшпру as пр
аО = пр.1inspace(1., 10., 10).reshape(2, 5)
print ⁹аО:\п⁹, аО
al - пр.ones(10).reshape(2, 5)
al = np.add(al, 1.)
print ’alAn’, al
a2 = np.add(a0, al)
print ^An’, a2
a3 = np.multiply(aO, al)
print ’аЗАп’, a3
a4 = np.power(aO, al)
print ^,a4:\n^,_> a4
аЗ v- .о

Численные 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 3
Содержание 5
Программное обеспечение 9
Элементы языка 21
| ’G \\Vab\\Python\\Testl \\src ’ , ’C-\\Program Files \\ ■/ NetBeans 6 7\\python! ’ , ’С Д \ Windows\\system32\\ python26 zip ’ , ’C^YPytho^G^DLLs’ , /С \\Python26\\lib ’ , 39
Математический Python 44
I 3 .4.II. ■ 61
И 0 ] 61
vs = Е 104
= np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): 115
Прямые методы линейной алгебры 160
Итерационные методы линейной алгебры 173
ъВ <А< 7₂в, Ъ > 0, (5.16) 179
Спектральные задачи линейной алгебры 185
Шп ^{уШ’^ук) = 1. 187
1||Й7б2ШШ&Ш 191
Нелинейные уравнения и системы 197
Задачи минимизации функций 206
/V) 207
Интерполирование и приближение функций 217
Численное интегрирование 228
Интегральные уравнения 239
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 252
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,... 253
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100, 263
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 265
М*)] = о, 266

[ 36 49 64 81 100 ]]
Среди других функций для поэлементных операций над массивами отметим:
Тригонометрические: sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), hypot(x, y), arctan2(x,?/), degrees(x), radians(x);
Гиперболические: sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x);
Экспоненциальные и логарифмические: exp(x), expml(x)
(= ехр(а:) - 1), log(a:), loglO(rc), log2(a;)₎ loglp(a:)(= log(l +ж)).
Другие функции соответствуют обозначениям математических функций в модуле math стандартной библиотеки Python (см. табл. 3.1).
import numpy as np
a0 = np.linspace(0., np.pi, 9)
print ⁹aO:\n⁹, aO
al = np.sin(aO)
print ’alAn’, al
a2 = np.cos(aO)
print ^,a2:\n^,_> a2
a3 = np.multiply(al, al) + np.multiply(a2, a2) - 1. print ’аЗЛп’, a3
[ О 00000000е+00^; 3 82ё83432е^01 ,• i: 7.07106781е+01 ^;V 9.23879533 е+01 i 1 QQQ0Q00беЯ-ОО ; Q 23879533-r-Qi :
7.07106781 е *-01 | 3 8268Д432е+ОГ | 1 22464680е+16] : ’
[ 1.00000000е+00 9.23879533ё-01;Д 07106781^01
3.82683 43 2 е—01 : 6.123 234 0 0 е—17 +-3.82683432 е~01
-7 07106781 ^ —01 —9.23879533е-til ^ ^:
аЗ : -J;;У;_:J :i :::;^;: i;;;i^:■ i;^::^:;: ■'I
[0. 0. 0 0 0 0 0 0 0 ]
Для работы с массивами с комплексными элементами предназначены функ­ции: angle(x) (аналог функции phasc(x)), real(x), imag(x) и conj(x), которая возвращает массив с комплексно-сопряженными элементами.
import numpy as np
аО = np.1inspace(1., 10., 10).reshape(2, 5)
print ’аОЛп’, aO
al = np.add(aO, l.j)
print ’alAn’, al
a2 = np.conj(al)
print ’a2:\n’, a2
a3 = np.real(al)
print ’аЗЛп’, a3
a4 = np.imag(al)
М

print ’а4:\п’,		, а4
й0
И		llllltl	111	■liiii
1 ■	шшшш	КЕШ	111	liiii!
а! и	1 +1 J	liiii	lllll	iilriifeisi	111	sliili
1	641 j	illlill	111	lljllllll	111	ililiii	lllBllllll
а2
II	1 -1 г	llilil	llli:!	1111111	IB	lllll!	illllllillli
I	6.-l.j	7 -1	Ill	1111111	111!	ill!!	io -i j II
аЗ!
и	1. 2	3	liiii	1111111
1	6 7.	8 ;	9	io II

a4 : ■ ■



атричные объекты
В вычислительной практике вместо N-мерных массивов часто удобнее опери­ровать с векторами и матрицами (одномерными и двумерными массивами). В частности, при программировании вместо поэлементных операций с массива­ми можно использовать матричные операции. Работа с матричными типами является вычислительной основой системы научных вычислений MATLAB.
В пакете NumPy помимо общего типа N-мерного массива (ndarray) имеют­ся подклассы векторных, матричных и тензорных объектов. Нас интересуют матричные объекты NumPy (matrix) в плане их использования при решении задач линейной алгебры. Здесь мы отметим особенности использования matrix в сравнении с ndarray. Можно заметить, что, с одной стороны, работа с масси­вами как с более общим типом данных дает больше возможностей. С другой стороны, матричные задачи часто самодостаточны для приложений и пет необходимости в расширенных возможностях работы с общими массивами.
Для матричных объектов возможна инициализация по строке, элементы мат­рицы задаются в соответствии с синтаксисом МАЛА В с пробелом в качестве разделителя для строки и разделителем ; для столбцов.
import numpy as np
a = np.mat(’l 2 3; 4 5 30
b = np.mat([[l, 2, 3], [4, 5, 6]])
print type (a), ’aAn’, a
print type(b), ’b:\n’, b
пяпннпвнмяшя
тЁшавашшаяиивявшяшшттшш