Практика №1 Рассчет длину волны электрона по формулам Вольфа-Брегга и де Бройля Гипотеза де Бройля

Практика № 1
Рассчет длину волны электрона по формулам Вольфа-Брегга и де Бройля
Гипотеза де Бройля
Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм материи.
Установление корпускулярно-волнового дуализма в оптических явлениях имело очень большое значение для дальнейшего развития физики. Впервые была выявлена двойственная - корпускулярно-волновая - природа физического объекта - электромагнитного излучения. Естественно было ожидать, что подобная двойственность может не ограничиваться только оптическими явлениями.
В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Согласно гипотезе де Бройля каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия  и импульс  фотона связаны с круговой частотой  и длиной волны  соотношениями

По гипотезе де Бройля движущейся частице, обладающей энергией  и импульсом , соответствует волновой процесс, частота которого равна

(2.1)

а длина волны

(2.2)

Как известно, плоская волна с частотой  , распространяющаяся вдоль оси , может быть представлена в комплексной форме


где  - амплитуда волны, а  - волновое число.
Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией  и импульсом , движущейся вдоль оси , соответствует плоская волна

(2.3)

распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы

(2.4)

где  импульс частицы, а  - волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.
Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего следует отметить, что волны материи - волны де Бройля - в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волн де Бройля , т.е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой. Пусть частица движется вдоль оси , тогда условие постоянства фазы волны (2.3) имеет вид


Дифференцируя это соотношение, находим


Поскольку


где  - релятивистская масса частицы, а  - ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение

(2.5)

Так как , то фазовая скорость волны де Бройля  оказывается больше скорости света в вакууме . Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений.
Найдем теперь групповую скорость  волны де Бройля. По определению

Преобразуя это выражение, получаем

Связь между  и  для частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением
 
где  - масса покоя частицы. Дифференцируя это выражение, находим


или


Таким образом


т.е. групповая скорость волны де Бройля  равна скорости движения частицы .
Расчет  для нерелятивистских и релятивистских частиц. Получим выражение для длины волны де Бройля  частицы, обладающей кинетической энергией . Согласно (2.2)

где - импульс частицы. В случае нерелятивистской частицы, скорость которой ,

Поэтому

(2.6)

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме , связь между импульсом и кинетической энергией частицы определяется соотношением

Подставляя это выражение в (2.2) , получаем, что в релятивистском случае

(2.7)

Длина волны де Бройля микро- и макрообъектов. Для того чтобы более отчетливо представлять себе порядок величины дебройлевской длины волны микрочастиц, найдем длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов . Для определенности будем считать электрон нерелятивистским. В этом случае, согласно (2.6) ,

(2.8)

Подставляя в (2.8) численные значения констант, получаем

Таким образом, при значении ускоряющей разности потенциалов в пределах от десятков вольт до нескольких киловольт дебройлевская длина волны электрона по порядку величины будет составлять  м. Напомним, что эта величина имеет в физике очень большое значение: размеры атомов, а также расстояние между атомами и молекулами в твердых телах по порядку величины равны  м.
Найдем теперь длину волны де Бройля у макроскопического, но достаточно малого объекта - пылинки, масса которой  =  г, а скорость
 = 1мм/c . Используя соотношение (2.2), получаем

Найденная длина волны значительно меньше не только размеров самой пылинки, но и наименьшего известного в физике размера - радиуса ядра, составляющего по порядку величины  м.
Поскольку никакого принципиального различия между микро- и макрообъектами не существует, то возникает вопрос: в каких случаях волновые свойства играют решающую роль в поведении частицы, а в каких случаях они оказываются несущественными и их можно не учитывать? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аналогией с оптикой. Как известно, волновая природа излучения максимальным образом проявляется в тех случаях, когда длина волны излучения  сравнима с характерными размерами системы , т.е.  . Если же , то волновые свойства излучения становятся несущественными и можно пользоваться геометрической или лучевой оптикой.
В силу глубокой аналогии, существующей между механическими и оптическими явлениями, классическая ньютоновская механика соответствует геометрической оптике, а квантовая или, как ее еще называют, волновая механика - волновой оптике. Таким образом, волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы , т.е.  . Напомним, что в первом из разобранных выше примеров примеров дебройлевская длина волны электрона , размеры атома и расстояние между атомами в кристалле имеют один и тот же порядок величины. Это означает, что при взаимодействии электронов с атомами, а также при их движении в твердых телах волновые свойства электронов будут проявляться максимальным образом. В тех же случаях, когда , как, например, для рассмотренной выше пылинки, волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики. Анализу этого вопроса посвящена также задача 2.5.
Преломление электронных волн в металле. Как известно, на электрон, находящийся в металле, действует электрическое поле, создаваемое положительно заряженными ионами, которые расположены в узлах кристаллической решетки. Это поле, вообще говоря, периодически меняется с расстоянием внутри металла. Усредненное по объему металла значение потенциала этого поля  называется внутренним потенциалом металла.
Для того, чтобы вырвать электрон из металла, нужно затратить энергию, равную работе выхода , которая связана с  соотношением

Если же электрон попадает в металл извне, то его энергия возрастает на величину, равную работе выхода. При этом изменяется фазовая скорость и дебройлевская длина волны электронных волн, т.е. на поверхности металла электронные волны испытывают преломление. Пусть электрон падает на металл из вакуума, тогда показатель преломления равен отношению фазовой скорости дебройлевской волны электрона в вакууме  к фазовой скорости волны в металле 


Используя соотношение (2.5) , получаем


Здесь  - скорость электрона в вакууме, а  - скорость электрона в металле. Пусть первоначально электрон обладал кинетической энергией , тогда кинетическая энергия электрона в металле будет равна . Используя классическую связь между скоростью и кинетической энергией частицы


получаем

Выражая кинетическую энергию электрона через ускоряющую разность потенциалов , а работу выхода электрона из металла через внутренний потенциал  , приходим к следующему выражению для показателя преломления электронных волн

(2.9)

Согласно (2.9) , показатель преломления  может достигать заметной величины лишь в случае медленных электронов, для которых  не слишком велико по сравнению с  . В случае высокоэнергичных электронов с 

и лишь незначительно отличается от единицы.
Задача 2.1. При каком значении кинетической энергии частицы  ошибка в определении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышает значения ? Решить задачу а) для электрона, б) для протона.
Решение: Относительная погрешность  в определении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле с учетом (2.6) и (2.7) имеет вид

Выражая отсюда  как функцию , получаем

 .
Так как по условию задачи  , то, используя разложение в ряд Тэйлора, находим, что . С учетом этого

где  - энергия покоя частицы.
Поскольку энергия покоя электрона  МэВ, то находим, что для электрона  кэВ. Это означает, что для электронов с кинетической энергией вплоть до  = 20,4 кэВ погрешность в определении  по нерелятивистской формуле не будет превышать 1%.
В физическом эксперименте ускорение заряженных частиц осуществляется, как правило, в электрическом поле. Проходя ускоряющую разность потенциалов , электрон приобретает кинетическую энергию . Для того, чтобы кинетическая энергия электрона была равна найденному нами значению  = 20,4 кэВ, он должен пройти ускоряющую разность потенциалов  = 20,4 кВ. При меньшем значении  относительная погрешность в определении дебройлевской длины волны  по нерелятивистской формуле (2.6) будет заведомо меньше 1 %.
Для протона, энергия покоя которого  МэВ, кинетическая энергия, при которой ошибка в определении дебройлевской длины волны не превышает одного процента, составляет  Мэв.
Задача 2.2. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой покоя , чтобы с их помощью можно было исследовать структуры с линейными размерами ? Решить задачу для электронов и протонов в случае м, что соответствует характерному размеру атомных ядер.
Решение: Для того чтобы с помощью частиц можно было исследовать структуры с линейными размерами , необходимо, чтобы дебройлевская длина волны этих частиц  была меньше или порядка , т.е. . Поскольку данное в условии задачи значение  очень мало, то ясно, что иметь дебройлевскую длину волны, сравнимую с , может только очень энергичная, релятивистская частица. Пользуясь выражением для длины волны де Бройля релятивистской частицы (2.7), получаем

Данное неравенство можно привести к следующему виду


где  - комптоновская длина волны частицы. Решая это неравенство, находим, что


Поскольку для электрона комптоновская длина волны  м, то
 .
С учетом этого условия для энергии электронов получаем

Подставляя численные значения, находим, что  ГэВ .
Для протонов комптоновская длина волны  м. С учетом этого получаем, что ускоритель протонов должен быть рассчитан на энергию ГэВ.