Понятия и определения математической логики

« Предикaты, операции над ними: область истинности предикатов, операции над ними. »
План:

• 
  1. Понятие предиката.
  
• 
  2. Логические операции над предикатами.
  
• 
  3. Операции над предикатами.
  
• 
  4. Область определения предиката.
  
• 
  5. Область истинности.
  

1. Понятие предиката

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат ( буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;

Предикат – это то, что утверждается о субъекте.
Определение:
Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений {0,1} (или {ложь, истина}), определённая на множестве M=M х M2 х M х ...Мn. Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный» Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж (m1, m2, … , mn) принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству. Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.
Предикат называют тождественно-истинным и пишут: Р(х1, … , хn) = 1
Если на любом наборе аргументов он принимает значение 1 .
Предикат называют тождественно-ложным и пишут: Р(х1, … , хn) = 0
Если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.
Пример:
В высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом»
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму « х – простое число ». При одних значениях х, (например, х = 13, х = 17) эта форма даёт истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта формула даёт ложное высказывания.
Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества { 1, 0 }.
Множество М, на котором определён предикат Р(х), называется областью определения предиката.
Множество всех элементов х ∈М ,прикоторыхпредикатпринимаетзначение«истина», называетсямножествомистинностипредикатаР(х)

Примеры:
Р(х) – « х – простое число » определен на множестве N, а множество истинности для него есть множество всех простых чисел.

Предикат Q{ х } – « sin х = 0 » определен на множестве R, а его множество истинности – Q.
Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным, если область определения предиката и область истинности совпадают.