Полем сил. Поле центральных держав

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ ГАЛИЛЕЯ-НЬЮТОНА.
План:

1. 
   Информация о силовом поле упругости.
   
2. 
   О законе Галилейском.
   
3. 
   Закон Ньютона.
   

Очевидно, частице, находящейся в точке O поля, всегда можно приписать любое заранее выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не ее абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой .

Формула дает возможность найти выражение  для любого потенциального ноля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия .
Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле тяжести [см. формулы . Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых нолях имеет следующий вид:
1) в поле упругой силы


2) в поле точечной массы (заряда)


где  для гравитационного взаимодействия и  для кулоновского взаимодействия;
3) в однородном поле сил тяжести


Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия  - это функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений  в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.
В 1905 году А. Эйнштейн сформулировал основные положения специальной теории относительности, которая и в наше время, т.е. спустя сто лет, по праву считается современной физической теорией пространства и времени. В первых публикациях на эту тему использовалось английское слово «special», что означает «частный». Это слово указывает на то, что рассматриваемая теория развита для частного случая пренебрежимо слабых гравитационных полей. Поскольку переводчики перевели слово «special» как «специальный», в литературе на русском языке укоренился термин «специальная теория относительности» (СТО).
Основу СТО составляют два постулата, один из которых называется принципом относительности Эйнштейна. Прежде чем сформулировать его, познакомимся с утверждением, которое в ньютоновской механике получило название принципа относительности Галилея. Для этого рассмотрим инерциальные системы отсчета и , оси абсцисс которых совпадают . Пусть штрихованная система движется относительно

нештрихованной () вдоль совпадающих осей вправо с постоянной скоростью . Если отсчет времени начать с момента, когда точки и совпадают, координаты частицы в системах и будут связаны соотношениями , , . Поскольку в механике Ньютона предполагается, что во всех системах отсчета время течет одинаково, имеем, что . Таким образом получается система четырех равенств, которая называется преобразованиями Галилея:

, , , .
Продифференцируем первое из равенств по переменной :
.
Так как , вместо производной можно использовать . С учетом этого перепишем:
.
Поскольку производные и представляют собой проекции скорости частицы в системах отсчета и , имеем:
.
Дифференцирование второго и третьего равенства системы по аналогии дает следующее:
, .
Систему скалярных уравнений можно заменить одним векторным уравнением
.
Его можно рассматривать как формулу преобразования скорости при переходе от системы отсчета к системе , либо как закон сложения скоростей в механике Ньютона: скорость движения частицы относительно системы равна сумме ее скорости относительно и скорости системы относительно . Далее продифференцируем по времени равенство (7.5):
.
Поскольку - неизменный вектор, его производная по времени равна нулю. Учтем также, что производные и представляют собой векторы ускорения и частицы в системах и , и перепишем в виде . Следовательно, ускорения частицы в рассматриваемых системах отсчета одинаковы. Умножив последнее равенство на массу частицы, получим, что
,
т.е. силы, действующие на частицу в обеих системах отсчета, также одинаковы. Вместе с тем равенство имеет значительно более глубокий смысл: из него следует, что законы механики Ньютона в инерциальных системах и выражаются одинаковыми уравнениями. Поскольку системы и были выбраны произвольно, из сказанного можно заключить, что законы ньютоновской механики формулируются одинаковыми уравнениями во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод и составляет сущность принципа относительности Галилея.
Галилей первым обратил внимание на то, что никакими опытами с явлениями механики, поставленными в инерциальной системе отсчета, невозможно установить, движется или покоится эта система относительно какой-то другой системы. Физические величины, которые имеют одинаковые численные значения в различных системах отсчета, называются инвариантными. В качестве примера таких величин можно упомянуть массу тела, электрический заряд и т.п. Уравнения, вид которых не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой, также называются инвариантыми относительно преобразований координат и времени. Воспользовавшись понятием инвариантности, принцип относительности можно сформулировать так: уравнения, выражающие законы механики Ньютона, инвариантны относительно преобразований Галилея.

В шестидесятых годах девятнадцатого века выдающийся английский физик Д.К. Максвелл сформулировал основные положения классической электродинамики – теории электромагнитных явлений, обусловленных взаимодействием и движением электрических зарядов. Более подробно электродинамика Максвелла рассматривается во второй части нашего курса; теперь отметим лишь, что она позволила объяснить все известные к тому времени электрические, магнитные и оптические эффекты. Математическим выражением этой теории является система четырех уравнений, которые впоследствии стали именоваться уравнениями Максвелла. Из этих уравнений, в частности, следовало, что свет – это электромагнитная волна, распространяющаяся со скоростью 3∙10⁸ м/с в вакууме. После публикации основополагающих работ Максвелла у физиков сразу же возник вполне естественный вопрос: можно ли распространить принцип относительности Галилея на явления и законы электродинамики? Иначе говоря, можно ли считать, что электромагнитные явления, как и явления механики, протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета?

На первый взгляд кажется, что это не так. В качестве примера, иллюстрирующего якобы невозможность такого обобщения, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть в системе отсчета , движущейся относительно системы вдоль оси с постоянной скоростью , имеется источник, излучающий параллельный пучок света вдоль направления движения.

Таким образом, физики пришли к альтернативе: либо справедлив закон сложения скоростей , но принцип относительности Галилея неприменим к электромагнитным явлениям, либо справедлив принцип относительности, но неверен закон сложения скоростей.
В 1867 году американские физики А. Майкельсон и Р. Морли провели серию экспериментов, которые подтвердили неверность закона сложения скоростей (впоследствии выяснилось, что этот закон справедлив лишь в частном случае, когда ). Они измеряли время прохождения светом источника участка земной поверхности длиной в направлении АВ и обратно (после отражения от зеркала) в двух случаях .В первом из них свет распространялся вдоль направления движения Земли по околосолнечной орбите. Если бы скорость света зависела от скорости источника, т.е. складывалась бы со скоростью его движения вместе с Землей ( 30 км/с), время прохождения светом всего пути было бы
.
Во втором случае свет источника распространялся в направлении, перпендикулярном движению Земли; поэтому время прохождения светом всего пути было бы
.
Впоследствии опыт Майкельсона и Морли многократно повторялся с возрастающей точностью измерений, однако никакого различия значений и обнаружено не было. Последняя попытка получить ненулевую разность , также оказавшаяся безуспешной, была предпринята в шестидесятых годах уже прошлого столетия в связи с появлением лазерных источников света.
Таким образом было установлено, что скорость распространения света не зависит от скорости движение источника относительно наблюдателя. Если считать, что наблюдатель находится в одной инерциальной системе, а источник света в другой, получается, что скорость света в обеих системах отсчета одинакова. Поскольку уравнение электромагнитной волны представляет собой решение уравнений Максвелла, из совпадения значений скорости света в различных системах отсчета следует, что эти уравнения также одинаковы.
На основании подобных рассуждений Эйнштейн сформулировал два положения, которые впоследствии стали называться постулатами специальной теории относительности. Согласно первому из них, скорость распространения света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и имеет наибольшее значение в сравнении со скоростями всех явлений и процессов, существующих в природе. Второй постулат по существу представляет собой обобщение принципа относительности Галилея: все физические явления, в том числе электромагнитные, протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
Существование в природе предельной скорости, равной скорости света в вакууме, в корне меняет привычные нам представления о свойствах пространства и времени. В частности, пространственные координаты и время, которые в механике Ньютона и, соответственно, в преобразованиях Галилея считаются независимыми переменными, в специальной теории относительности взаимосвязаны. Эйнштейн показал, что для выполнения упомянутых выше постулатов преобразования Галилея необходимо заменить другими, более общими формулами, которые получили название преобразований Лоренца.
Эти преобразования, связывающие координаты и время в инерциальных системах и , должны удовлетворять следующим условиям.
1. Формулы преобразования должны быть симметричными относительно обеих систем отсчета. Иначе говоря, штрихованные переменные выражаются через нештрихованные переменные и наоборот – переменные выражаются через переменные посредством одних и тех же формул. Например, если система движется относительно вправо со скоростью , то для перехода от к в формулы преобразования необходимо подставить численное значение модуля скорости . Для обратного перехода, т.е. от к , в эти же формулы необходимо подставить .
2. Если некоторая точка имеет конечные значения координат в одной системе отсчета (т.е. находится на конечном удалении от начала координат), то в другой системе отсчета координаты этой точки также должны иметь конечные значения.
3. Если скорость движения системы относительно стремится к нулю, формулы преобразования должны приводить к тождествам , , .
4. Из формул преобразования должен следовать закон сложения скоростей, в рамках которого скорость света в вакууме получается одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.

УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ