Подземная гидравлика

§ 6. ОСНОВЫ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Гидродинамические процессы, характерные для всего комплекса нефтедобычи — от движения нефти в пласте до ее течения по тру­бопроводам к потребителю, крайне сложны. В некоторых случаях мы не только не мо'жем решить соответствующие уравнения даже на лучших из имеющихся ЭВМ, но, что еще хуже, современное знание этих процессов недостаточно даже для постановки матема­тических задач. В этих условиях очень важную роль играет при­менение анализа размерностей и теории подобия, основанного на фундаментальном положении: физические законы не должны за­висеть от имеющегося произвола в выборе единиц измерения фи­зических величин. Отсюда выводится, что функции, выражающие

физические законы, обладают важным свойством, которое назы­вается обобщенной однородностью. Это свойство позволяет упро­стить определение (расчет, нахождение из опыта) зависимостей, выражающих соответствующие закономерности, иногда очень су­щественно.
Размерность
Все физические величины мы выражаем числами, которые полу­чаются в результате измерения. Измерение представляет собой прямое или косвенное сравнение данной величины с соответствую­щими эталонами — единицами измерения. Так, мы говорим, что длина линейки составляет 0,25 м, сравнивая ее со специальным эта­лоном, единицей длины — метром. Мы говорим, что скорость авто­мобиля составляет 60 км/ч, сравнивая ее с единицей измерения ско­рости, скоростью равномерного движения, в котором путь в один километр проходится за время, равное одному часу.
Единицы измерения физических величин подразделяются на основные и производные. Это означает следующее. Сперва указы­ваются величины, те или иные эталоны которых — природные или искусственные — принимаются за основные единицы измерения. После установления основных единиц измерения производные еди­ницы измерения получаются из основных в силу определения фи­зической величины. Определение всегда является указанием спо­соба измерения данной физической величины, по крайней мере мысленного.
Например, для описания гидродинамических процессов за ос­новные единицы измерения можно принять некоторые эталоны длины, массы и времени или силы, массы и времени. Для описания теплообмена или электромагнитных явлений этих эталонов уже недостаточно. Далее, скорость представляет собой в силу ее опре­деления отношение расстояния, проходимого за некоторый проме­жуток времени, к величине этого промежутка времени. Поэтому за единицу скорости можно принять скорость равномерного дви­жения, в котором единица длины (один километр) проходится за единицу времени (один час). Обозначение км/ч представляет собой некоторую условность: это отношение нельзя рассматривать как частное от деления эталона длины (километра) на эталон времени (час). Такое деление вообще бессмысленно: можно разделить число на число, но нельзя делить отрезок пути на промежуток времени.
Системой единиц измерения называется совокупность основ­ных единиц измерения, достаточная для измерений явлений рас­сматриваемого класса. Так, в СИ за основные единицы измерения приняты единицы измерения длины, массы и времени, причем за единицу длины принят один метр, за единицу массы — один кило­грамм, за единицу времени — одна секунда.
Классом систем единиц измерения называется совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только ве­личиной (но не природой) основных единиц измерения. Для класса

систем единиц измерения, к которому относятся системы единиц СИ, за основные единицы измерения приняты эталоны длины, массы и времени. Для произвольной системы этого класса соответствую­щие единицы составляют:
единица длины = m/L;
единица массы = кг/М; (2.1)
единица времени = сIT.
Здесь L, М, Т — отвлеченные положительные числа, которые показывают, во сколько раз уменьшаются основные единицы длины, массы и времени при переходе от исходной системы, в данном слу­чае СИ, к другой системе рассматриваемого класса. Этот класс обозначается LMT. Обозначение класса систем единиц измерения получается последовательным выписыванием символов величин, единицы измерения которых приняты за основные. Одновременна этими символами обозначают число раз, во сколько уменьшается соответствующая основная единица измерения при переходе от исходной системы, в данном случае СИ, к другой системе данного класса.
Если уменьшить единицу длины в L раз, а единицу времени в Т раз, то, очевидно, новая единица скорости уменьшится по срав­нению с исходной в ЬТ~^г раз. Следовательно, численное значение всех скоростей возрастет в LT~^l раз. Аналогично и для других ве­личин. Изменение численных значений физических величин при переходе от одной системы единиц измерения к другой в данном классе систем единиц измерения определяется их размерностью. Размерностью физической величины называется функция, опреде­ляющая во сколько раз изменяется численное значение этой ве­личины при переходе от исходной системы единиц измерения к произвольной системе внутри данного класса. Размерность вели­чины ф принято по предложению Максвелла обозначать [<р]. Спе­циально подчеркнем, что размерность определяется для данного класса систем единиц измерения и в разных классах систем единиц измерения размерность одной и той же величины различна. На­пример, размерность плотности в классе LMT составляет [р] = = ML~³. Величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения внутри данного класса, называются безразмерными. Ясно, что размерность безразмерной величины равна единице. Все остальные величины называются размерными.
Размерность любой физической величины всегда представляет собой степенной одночлен, так что, например, в классе LMT раз­мерность величины а представляется в виде la) = L^aM^Tf, где а, р, у — постоянные. Это следует из просто формулируемого, но на самом деле глубокого физического принципа: все системы вну­три данного класса равноправны, т. е. среди них нет избранных,, чем-то выделенных систем.
Говорят, что величины а_и . . . , а* имеют независимые размер­ности, если размерность ни одной из этих величин нельзя предста­вить в виде произведения степеней размерностей остальных. На- пример, размерности плотности [р ] = ML~^S, скорости [у] = LT~^l и силы [F] = LMT~² независимы. Напротив, размерности плот­ности, скорости и давления зависимы: размерность давления ML~^lT~² равна произведению размерности плотности на квадрат размерности скорости. Ни одна из величин с независимыми размер­ностями а_1г . . . , a_k не может быть безразмерной: размерность безразмерной величины, равная единице, равна произведению раз­мерностей остальных величин, какими бы они ни были, в нулевой степени.
Для дальнейшего существенен следующий факт: всегда можно перейти от исходной системы к некоторой системе данного класса так, чтобы любая величина из набора величин с независимыми раз­мерностями а_1у . . . , a_k, скажем а_и изменила численное значение в произвольное число А раз, а все прочие величины остались не­изменными.
Действительно, в выбранном классе систем единиц измерения Р, Q, . . . (через Р, Q . . . обозначены символы L, М, Т и другие, им подобные) размерности величин a_lt . . . , a_k имеют вид:
[ad = P“‘Q^p1 . . . , [a₂] = P^a*cf² . . . , [a_k] = Р^аф . . . , ₍₂.2)
причем для каждого m хотя бы одна из величин a_OT, |З_т, ... не равна нулю. Следовательно, по определению размерности при пе­реходе от исходной системы единиц к той системе единиц, которую мы ищем, числа Р, Q, . . . должны удовлетворять соотношениям
P“iQ^p 1. . . =А, Р°Ч>Р₂. . . =1, P^akQh . . . =1. (2.3)
Логарифмируя соотношения (2.3), получаем для логарифмов неизвестных переходных множителей In Р, In Q, . . . систему ли­нейных алгебраических уравнений:
a₁lnP+p_ilnQ+ . . . =1пА;
сс% In Р -f- Ра In Q -f- . . . =0; (2.4)
a* In P + P/>, In Q 4- . . . = 0,
которая, как нетрудно видеть, всегда разрешима. Это свойство используется при построении анализа размерностей.