План: Введение Определение угла

Следствия первого признака подобия

Если три стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».

• 
  Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.
  

Второй признак:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак:

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. 
   По острому углу — см. первый признак;
   
2. 
   По двум катетам — см. второй признак;
   
3. 
   По катету и гипотенузе — см. третий признак.
   

Свойства подобных треугольников

• 
  Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
  
• 
  Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.
  

Примеры подобных треугольников
Подобны следующие виды треугольников:

• 
  Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
  
• 
  Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
  
• 
  Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
  
• 
  Исходный треугольник {\displaystyle \Delta ABC}  по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис.
  
• 
  Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
  
• 
  Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
  
• 
  Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
  
• 
  Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
  
• 
  Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
  
• 
  Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[2]. Здесь использованы определения:
  
  • 
    Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
    
  • 
    Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.