План: Напряжения в наклонных сечениях при осевом растяжении или сжатии

Сложное напряженное состояние
План:
1. Напряжения в наклонных сечениях при осевом растяжении или сжатии.
2. Понятие о главных напряжениях
3. Графическое определение напряжений Круг Отто-Мора.

При осевом растяжении (или сжатии) определяем напряжение на площадке ab, наклоненной под углом α. Отбросим мысленно верхнюю часть стержня и рассмотрим равновесие нижней. Площадь сеч (а с) – обозначим А Площадь сеч (а b) – обозначим Аα ρ =Р/ Аα=(Р/ А) соs α= σ соs α, где σ=Р/ А – напряжение на площадке a с

Разложим напряжение ρ на σ_α и τ_α :


При 


Вывод: наибольшие касательные напряжения возникают при α=45°: τ_max = 
Напряжения на площадке df перпендикулярной площадке ab:

- закон парности касательных напряжений.

Вывод: во взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине но противоположны по знаку - закон парности касательных напряжений.
Понятие о главных напряжениях.
Площадки, в которой отсутствуют τ называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним называются главными нормальными напряжениями.
Вывод: таким образом, при осевом растяжении и сжатии главными являются площадки перпендикулярные и параллельные оси стержня.
Примечание: в любом теле имеется три взаимно перпендикулярных площадки, в которых τ=0
Различают три напряженных состояния:

1 Линейное напряженное состояние
2. Плоское напряженное состояние 3. Объемное напряженное состояние

Напряжение в наклонных сечениях при осевом растяжении и сжатии по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Известны: σ₁ , σ₂.
Необходимо определить σ_φ и τ_φ на наклонной площадке.

Полные напряжения на наклонной площадке находятся суммированием напряжений от σ1 и σ2 : Вывод:

Определение главных напряжений.
Известны: σ_α , σ_β , τ .
Необходимо определить σ_φ и τ_φ на наклонной площадке и главные напряжения.

Главные напряжения определяются:

Графическое определение напряжений Круг Отто-Мора.

Дано: . Определить напряжение на наклонной площадке

Решение: Путем графических построений можно найти требуемые величины и их направление. Откладывают σ1 и σ2 , рисуют круг, от центра круга откладывают 2φ и остальные линии. После построений получаем: FD= │τφ│ AD=│σφ│

Если направление σ₁ совместить с осью σ, то линия ВF покажет направление напряжения
σ_φ, а линия BF₁ совпадет с направлением τ_φ.
Обобщенный закон Гука.

	Выделим из тела элемент, работающий в условиях объемного напряженного состояния. Если элемент испытывает напряжение только в одном направлении, вдоль оси y, то деформации будут только от  1. По закону Гука деформации будут определяться по формуле:

А по перпендикулярным направлениям:  - вдоль оси Х₁
- вдоль оси Х_2. Тогда все деформации от σ_{1 ,} σ_{2 ,} σ₃
можно представить в виде таблицы:

На основании принципа независимости действия сил относительные деформации по осям x, y, z будут определяться по формулам:

– обобщенный закон Гука

Объемная деформация.
Дан кубик с ребром равным 1.
– объем до деформации.
– объем после деформации.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и третьего порядка получим: – приращение объема кубика. при  .

Гипотезы прочности.
При осевом растяжении и сжатии прочность можно проверить опытным путем. Если же имеется сложное напряженное состояние, то прочность будет зависеть от трех составляющих напряжений σ_1,σ₂ σ₃, которые имеют многообразие сочетаний.
Учитывая сложность постановки таких опытов, для оценки прочности принимаются гипотезы или теории прочности.

1. 
   Теория наибольших нормальных напряжений (предложил Галилей): согласно ей предельное состояние материала возникает, когда наибольшее напряжение достигает величины, при которой появляются пластические деформации или разрушение в случае одноосного напряженного состояния.
   

σ₁≤  , где σ₁>σ₂>σ₃
При этом σ₂ и σ₃ во внимание не принимаются.
Гипотеза применима для хрупких материалов.

2. 
   Гипотеза наибольших линейных деформаций (предложил Мориот).
   

Согласно ей условие прочности имеет вид:



В этой гипотезе учитываются все три напряжения и она применима для пластичных материалов.

3. 
   Теория наибольших касательных напряжений (третья теория)
   

Предполагает, что независимо от напряженного состояния 2 тела являются равнопрочными, если наибольшие касательные напряжения в них одинаковы.

- при сложном напряженном состоянии.