Педагогик аннотацияси ўқув предмети: Алгебра ва сонлар назарияси 10-11-Мавзу: учинчи вa тўртинчи даражали тенгламалар

Технологик хусусиятлардан келиб чиққан ҳолда кейснинг тавсифномаси:
Ушбу кейснинг асосий манбаи кабинетли, лавҳали баён этилган. Кейснинг асосий обҳекти шахсга йўналтирилгандир. Бу ташкилий институционал кейс бўлиб, маълумотлар вазиятлар ва саволлар асосида тузилган. Ҳажми ўртача, тизимлаштирилган бўлиб, тренингга мўлжалланган ўқув мавзу бўйича билим ва кўникмалар ҳосил қилишга қаратилган. Дидактик мақсадларга кўра кейс муаммоларни тақдим қилишга, уларни ҳал этишга, таҳлил қилиш ва баҳолашга қаратилган.

МАВЗУ: УЧИНЧИ ВA ТЎРТИНЧИ ДАРАЖАЛИ ТЕНГЛАМАЛАР.
Энди комплекс коэффициентли ушбў учинчи даражали
x³+ax²+bx+x+c=0
умумий тенгламани алгебраик ечишга ҳаракат қилиб кўрамиз.
Дастлаб бу тенгламани шаклан шундай ўзгартирамизки, натижаданомаълумнинг квадратмни ўз нчига олган ҳад йўқолйб кетсин.
Aгap

қабулэтиб, буифоданибизнингтенгламамизгақўйсак, уҳолдибаҳзимураккаббўлмаганамалларданкейинмаиабy соддатенглама
y³+ру+q =0(1)
келибчиқади, бундаги

Шундан қилиб (1) тенгламани ечишй қолади. y=u+υфараз этнб, унинг шу ифодасини (1) тенгламага қўймиз, бундаги u, υиккитаянги номаълумлардир. Куйпдагиги эришамиз:
(u+υ)²+p(u+υ)+q=0;
бундаги қавсларни очиб ўхшашларини йиғсак,
(u³+υ³+q) +(3uυ+p)(u+с) =0(2)
ҳосилбўлиди.
Битта нома’лум ўрнига иккита u, υ номаълум киритганимиздан фойдаланамиз ва қуйидагича бўлишини талаб этамиз:

У вақтда (2) тенглама ушбу тенгламаларга айланди:

булардан биз кўрамизки, u³ ва υ³ мана бу

квадрат тенгламанинг илдизларидан иборат.
Бу тенгламани ечсак

бундан

ҳосил бўлади. Бинобарин, тўлиқмас (1) тенгламани биз еча олдик:

Биз кўрдикки, Кардан формуласи қуйидаги иккита

кубик радикаллар йиғиндисидан иборат. Бу радикаллардан ҳарбири учта қийматга эга. nнинг ихтиёрий қиймати билан υ нинг ихтиёрий қийматини комбинация қилиш натижасида биз тўққизта u+υ йиғиндига эга бўламиз, аммо улар орасида фақат учтасигина (1) тенгламанинг илдизлари бўлади. Улар ушбу

муносабаторқалибоғланганиваυлардантузилганu+υйиғиндиларданиборатдир. (4) муносабатниқаноатлантирадиганu, υнингбирпарақийматиниu₁ваυ₁орқалибелгилайлик, εорқалиэсабирбутуннингучинчидаражалибошлангичилдизлариданбирини, масалан, нибелгилаймиз. Увақтдаинингқолганиккитакийматлариu₂=εu₁, u₃=ε²u₁бўлади. Эндиυнингмосқийматлари қанчага тенглигини аниқлаймиз. ε³=1 ва бўлганисабабли, εu₁ваε²u₁учунқуйидагиларнитопамиз:

Шундан қилпб, и нинг ҳарбир қийматини υ нинг мос қийматларига қўшиш билан (1) тенгламанинг уччала илдизини топамиз:
y₁=u₁+υ₁, y₂=εu₁+ε²υ₁, y₃=ε²u₁+ευ₁

Аммо

Шу сабабли ушбу охирги натижага эришамиз:

Энди ҳақиқий коэффициентли (юқоридаги каби комплекскоэффициентли эмас) ушбу
y³-ру+q =0(1)
тенгламани бироз мукаммалроқ текширайлик. Бу тенглама илдизлари ҳақида нима айтиш мумкин? Бизга учта ҳолни айрим равишда текширишга тўғри келади. а) Кардан формуласидаги квадрат радикал ишораси остида ётган ифода мусбат, b) нольга тенг ҳамда с) манфий.
а) Aгap бўлса, у ҳолда мана бу

ифодалар ҳақиқий ва ҳархил сонларни билдиради. Биз u₁ сифатида учинчи даражали илдизнинг ҳақикийқийматини қабул қилишимиз мумкин. У вақтда υ₁ сифатида ҳам нинг учинчи даражали илдизининг ҳақиқий қийматини олишга тўғри келади, чунки u₁υ₁кўпайтма ҳақиқий сонга тенг бўлиши керак. Демак, y₁=u₁+υ₁ илдиз ҳадиқий бўлиб, қолган иккита илдизи

Ўзаро қўшма комплекс сонлардан иборат бўлади.
Бинобарин, бўлган ҳолда (6) тенглама битта ҳақиқий ваиккита қўшма комплекс илдизларга эга бўлади.
b) Aгap бўлса, у ҳолда

бўлиб қолади. Шундай қилиб u₁ва υдеб нинг учинчи даражали илдизининг ҳақиқий илдизини олсак, (5) формула бўйича қуйидагига эга бўламиз:
y₁=2u₁ , у₂ =υ₃=–u₁.¹
Демак бўлган ҳолда(6) тенгламанинг уччала илдизи ҳам ҳақиқий бўлиб, улардан иккитаси ўзаро тенгдир.
с) Ниҳоят, агар бўлса, у ҳолда учинчи даражали радикал остидаги ифода ҳақиқий бўлмай, балки мавҳум бўлади. Шунинг учун и υ радикалларнинг ўзлари ҳам манҳум бўлади. Кардан формуласидаги υ нинг ибилан қўшма бўлишини кўрсатамиз. Фараз этайлик, u=a+ib бўлсин. Бир томондан ининг модули гa тенг. Иккинчи томондан , n-нчи даражали илдизни чиқариш қоидасига мувофиқ:
²


бўлади. Энди υ нинг u гaқўшма экинлигими кўриш қийин эмас:

Сўнгги ҳолда текширилаётган тенгламанинг илизлари нимага тенглигини топамиз. Aгap и радикал қийматларидан бири u₁=a+bi бўлса, у ҳолда ҳозиргина қилган исботимизга кўра υ₁=а – bi бўлади. Шунинг учун

яҳни биз кутганча ҳақиқий илдизлар келиб чиқди. Бу илдизлар ўзаро ҳархил. Дарҳақиқат, Эвклид алгоритми ёрдами билан учинчи даражали fʹ(y)= y³+py+q учдадли билан унингf ʹ(y)=3y²+p ҳосиласининг энг катта умумий бўлучиси манфийўзгармас сонга тенг экайлигини очиш осон.
Шy сабабли (6) тенгламанинг каррали илдизлари йўқ.
Бинобарин, бўлган ҳолда (6) тенгламанинг уччала илдизи ҳақиқий ва ўзаро тенг эмас.
Биз ҳозир келтирилмайдиган ҳолнинг бурчак трисекцияси ҳақидаги машҳур масала билан маҳкам бўғлиқ эканлигини кўрсатамиз.
Шy мақсад билан (7) формулаларни логорифмлаш учунқулаб ҳолга келтирамиз.
бўлгани учун биз

фараз қилаоламиз, бундаги Δ–мусбат сон. У вақтда радикал иқуйидагича кўчириб ёзмоқ мумкин:

Энди, дан учинчи даражали илдизини чикаришучун комплекс сонни тригонометрик кўринишгакелтиришга тўғрикелади. Унинг rмодулини ва φ аргументини топамиз:

r билан φтопилгани учун энди биз илдизни чиқаришга киришсак бўлади:

(7) формулаларга мурожаат қиламиз. u₁ деб тубандагини қабeл этиш кулайроқ:

u₁ нинг қиймати ўшандай бўлганда биз қуйидагига эришамиз:

булардан

Бинобарин, биз тенгламанинг учта илдизи учун қуйидаги ифодаларга эришдик:

Maнaшу формулалардан кўринадики, келтирилмайдиган ҳолда берилган тенгламани ечиш φ бурчакни тенг уч бўлакка бўлиш масаласи билан боғлиқдир.
Ушбу
x⁴+ах³+bх²+сх+d =0 (9)
тўртинчи даражалик умумий тенгламани текширишга ўтамиз. Биз аввал (9) тенгламани ечишда энг олдин топилган Kapдан шогирди бўлмиш Феррарига тегишли усулни баён қиламиз. (9) тенгламанинг сўнгги учта ҳадини ўнг томонга ўтказиб,унинг икки томонига ни қўшамиз. У ҳолда мана бу келиб чиқади:

Сўнгра бу тенгламанинг икки томонига йиғиндини қўшамиз. Тенглама ушбу кўринишни олади:

Ёрдамчи номаълум у ни шундай танлаб оламизки, натижада сўнгги тенгламанинг ўнг томони тўлиқ квадратга айлансин.
У фақат

бўлганда ва фақат шундай бўлгандагина мумқин. Леқин
4A²B²=(2AB)².
Шунинг учун қуйидагича

бўлиши керак. Aгap қавсларни очсак, баҳзи ўзгартишлардан кейину гa нисбатан қуйидаги учинчи даражали тенглама келиб чиқади:
y³-by²+(ac-4d)y-[d(a²-4b)+c²]=0
Фараз қилайлик, y₀ шу тенгламанинг бирор илдизи бўлсин. Буни (10) тенгламага қўйиб, унинг ўнг томонини тўлиқ (Ax+В)²квадратга айлантирамиз:

Бундан

Мана шу иккита квадрат тенглама тўртинчи даражали тенгламанинг тўртта илдизининг ҳаммасини беради. Бинобарин, тўртинчи даражали тенгламани ечиш битта учинчи даражали ва иккита иккинчи даражали тенгламаларни ечншга келтирилади.
Энди Н.И.Лобачевский томонидан ўзининг „Алгебра” китобида тавсия қилинган тўртинчи даражали тенгламани ечишнинг бошқа усулини кўриб чиқамиз.
Бy фараз этиб, (9) тенгламани номаълумнинг учинчи даражасини ўз ичига олмайдиган ушбу
у⁴+ру²+qу+r = 0 (11)
тенгламага келтирамиз. (11) тенгламани ечиш учун z гa нисбатан қуйидаги иккита ёрдамчи тенгламага мурожаат қиламиз:
z³–yz²+y'z +у" =0 (12)
z³–yz²+y'z –у" =0 (13)
булардаги у (11) тенглама илдизларидан исталган биттаси.
Aгapz₁, z₂, z₃ лар (12) тенгламанинг илдизлари бўлса, –z₁, –z₂, –z₃ ларнинг (13) тенглама илдизлари бўлишини кўриш ocoн.
(12) вa (13) тенгламаларни ўзаро кўпайтириб қуйидагиларга эришамиз:
u³+lu²+mu-n=0 (14)
бундагни u=z² ва
l = 3y'–y², m =y'² + 2уу", n = у"² (15)
(15) тенгликлaрдан у' ва у" ни чиқарсак, мана бу натижа ҳосил бўлади:

Aгap

ёки

деб белгиласак, сўнгги тенглама (11) тенгламанинг айнан ўзи бўлиб қолади. Шy билан бирга у" сифатида нн олиш мумкин.
Шундай қилиб, (14) тенглама ушбу

тенгламага айланади.
Фараз этайлик, u₁, u₂,u₃, (16) тенгламанинг илдизлари бўлсин. У вақтда, агар

бўлса, лар(12) тенгламанингилдизларибўлибқолади z₁, z₂, z₃лар, шартниқаноатлантиручиквадрат илдизларнингқийматлариданиборатбўлса, уҳолдаҳалигишартнитубандагикомбинацияларҳамқаноатлантиради :