Pdsolve qisman differentsial tenglamalar (pde) va pde tizimlari uchun echimlarni topish

pdsolve - qisman differentsial tenglamalar (PDE) va PDE tizimlari uchun echimlarni topish
Chaqiruvlar ketma-ketligi
pdsolve (PDE, f, HINT = hint, INTEGRATE, qurish)
pdsolve (PDE_system, funcs, HINT, other_options)
pdsolve (PDE_or_PDE_system, qisqartiriladi, type = numeric, other_options)
Parametrlar
PDE - qisman differentsial tenglama
f - aniqlanmagan funktsiya yoki ism; juda ko'p differentsial funktsiyalar mavjud bo'lganda talab qilinadi
hint - (ixtiyoriy) HINT = hintdagi o'ng tomon, bu erda ishora: "+", "*", chiziq yoki TWS kalit so'zlaridan biri, TWS konstruktsiyasi (math_function_name) yoki noma'lum bo'lgan har qanday algebraik ifoda funktsiyalari
INTEGRATE - (ixtiyoriy) PDE o'zgaruvchini ajratish yordamida echilganda topilgan ODE to'plamining avtomatik qo'shilishini bildiradi
build - (ixtiyoriy) aniqlangan funktsiya uchun aniq ifodani tuzishga harakat qiling, qanday echim topilganligidan qat'iy nazar
PDE_system - qisman differentsial tenglamalar tizimi; u tenglamalarni o'z ichiga olishi mumkin
funcs - (ixtiyoriy) to'plam yoki aniqlanmagan funktsiyalar yoki nomlar bilan ro'yxat
other_options - PDE tizimlarini to'liq hal qilishda caseplit buyrug'i tomonidan qabul qilingan barcha variantlar pdsolve tomonidan ham qabul qilinadi
PDE_or_PDE_sistema - qisman differentsial tenglama yoki qisman differentsial tenglamalar tizimi; u tenglamalarni o'z ichiga olishi mumkin
konditsionerlar - boshlang'ich yoki chegara shartlari
turi = raqamli - tenglama; raqamli yechim topilishini ko'rsatib bering; to'liq tenglama o'rniga raqamli kalit so'zdan foydalanish mumkin
* Ixtiyoriy dalillar yakka o'zi yoki birgalikda va har qanday tartibda berilishi mumkin.
Tavsif
PDE yoki PDE tizimi berilgan, ehtimol ODE, algebraik cheklashlar va tenglamalarni o'z ichiga olgan dastlabki ikkita chaqiruv ketma-ketligi uchun pdsolve funktsiyasining asosiy maqsadi analitik echimni topishdir. PDS yoki PDE tizimlarining turi, differentsial tartibi yoki qaram yoki mustaqil o'zgaruvchilar sonini echishga urinishi mumkin bo'lgan cheklovlar yo'q.
Qolgan ikkita qo'ng'iroq ketma-ketligi uchun pdsolve kirish PDE yoki PDE tizimi uchun raqamli echimni topadi. Pdsolve-dan foydalanish, PDE-ning raqamli echilishi mumkin bo'lgan turlari va har qanday raqamga xos argumentlarni pdsolve / numeric-da topish mumkin.
Ushbu sahifaning qolgan qismida bitta PDE ning aniq echimi muhokama qilinadi. PDE tizimlarining aniq echimi bo'yicha yordam uchun pdsolve / system-ga qarang.
Bitta PDE-ni echish
Pdsolve buyrug'i hozirda ma'lum bir PDE oilalarini taniydi, ularni standart usullar yordamida hal qilish mumkin. Agar berilgan PDE tanib bo'lmaydigan oilaga tegishli bo'lsa, pdsolve PDE ning o'ziga xos tuzilishi asosida o'zgaruvchilarni ajratishga urinadigan evristik algoritmdan foydalanadi.
Pdsolve foydalanadigan strategiya - bu berilgan PDE uchun eng umumiy echimni izlash yoki eng yomon holatda o'zgaruvchilarning to'liq ajratilishini izlashdir. Shunday qilib, muvaffaqiyatli bo'lganda, buyruq quyidagilardan birini qaytaradi:
- umumiy echim,
- kvaziy-umumiy echim (ixtiyoriy funktsiyalarni o'z ichiga olgan, ammo etarli miqdordagi bo'lmagan yoki umumiy echimni yaratish uchun etarli o'zgaruvchiga ega bo'lmagan echim) yoki
- Barcha o'zgaruvchilar ajratilgan birlashtirilmagan ODE to'plami yoki ushbu to'plamni integratsiyalashgandan so'ng olingan to'liq echim (INTEGRATE opsiyasi ko'rsatilganida).
O'zgaruvchilarning to'liq bo'lmagan ajratilishiga erishilganda, funktsiya o'zini yana chaqiradi (kichikroq muammo bilan), ehtimol echimning turli usullarini qo'llaydi. Agar kichikroq muammoni echib bo'lmaydigan bo'lsa, o'zgaruvchilarning to'liq bo'lmagan ajratilishi qaytariladi (ogohlantirish xabari bilan).
Pdsolve natijalari sukut bo'yicha uchta shakldan birida qaytariladi.
a) PDE ga umumiy echim olinganda, funktsiya aniqlanmagan funktsiya uchun aniq natijani beradi.
PDE: = x * diff (f (x, y), y) -y * diff (f (x, y), x) = 0;
/ d \ / d \
PDE: = x | --- f (x, y) | - y | --- f (x, y) | = 0
\ dy / \ dx /
pdsolve (PDE); # _F1 ixtiyoriy funktsiya
/ 2 2 \
f (x, y) = _F1 \ x + y /

b) echim topilsa, lekin eng umumiy emas, pdsolve ichki PDESolStruc funktsiyasi yordamida natijani ifodalaydi, qaerda ko'rsatilgan va birinchi argument sifatida noaniq funktsiya uchun topilgan funktsional shakl. Ikkinchi argument o'zgaruvchilarni ajratish paytida topilgan har qanday ODElar ro'yxatini, shuningdek pdsolve tomonidan kiritilgan o'zboshimchalik funktsiyalari yoki o'zgaruvchilarning o'zgarishini o'z ichiga oladi. PDESolStruc foydalanuvchiga olingan echimning aniqligini ko'rish imkoniyatini beradi. Bunday hollarda, noaniq funktsiya, aniq bir yechim uchun aniq natija, qo'shimcha argument tuzilishi bilan pdsolve-ni chaqirish yoki PDEtools [build] buyrug'i yordamida ushbu PDE yechim tuzilishidan olinishi mumkin. Misollar bo'limiga qarang.

c) pdsolve ishlamay qolganda, NULL qiymatini beradi.
Siz natijalarni ifoda etishning odatiy usullarini _EnvBuildPdsolve muhit o'zgaruvchisiga 1 yoki 2 qiymatlarini berib o'zgartirishingiz mumkin. Odatiy bo'lib, _EnvBuildPdsolve 1-ga beriladi, _EnvBuildPdsolve 2 ga o'rnatilganda, pdsolve har doim olingan natijaning umumiyligidan mustaqil ravishda aniq echim yaratishga harakat qiladi.
Argumentlar haqida
Agar berilgan PDE bir nechta funktsiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan bo'lsa, noaniq funktsiya deb hisoblanishi kerak bo'lgan funktsiya yoki uning nomi qo'shimcha argument sifatida berilishi kerak.
Boshqa uchta ixtiyoriy dalillarga ruxsat beriladi.
1. Siz qo'shimcha argumentlarni pdsolve-ga o'tkazishingiz mumkin, bu funktsiya to'g'ridan-to'g'ri aniq natijani hosil qiladi, olingan eritmaning umumiyligidan mustaqil.
2. INTEGRATE parametridan foydalanib, o'zgaruvchini ajratishda pdsolve tomonidan topilgan ODE tizimining avtomatik integratsiyasini talab qilishingiz mumkin.
3. Siz yechim usulini yoki noaniq funktsiya uchun shaklni ko'rsatadigan HINT berishingiz mumkin. Berilganida maslahat pdsolve tomonidan echim izlash uchun ketish nuqtasi sifatida qabul qilinadi. Ushbu parametr, agar pdsolve tomonidan olingan natija
HINT = har qanday algebraik ifoda
Ushbu parametr pdsolve-ni PDE-ni soddalashtirishga yoki aniqlanmagan funktsiyani ko'rsatilgan algebraik ifodaga teng bo'lgan o'zgaruvchilarni ajratishga urinishni boshlashga majbur qiladi. Pdsolvega funktsional maslahat berish mumkin, masalan, HINT = f1 (x) / f2 (y) ^ f2 (z) (bu erda aniqlanmagan funktsiya f (x, y, z)). Ya'ni, siz aniqlanmagan funktsiyaning faqat funktsional shaklini taklif qilishingiz mumkin. Ushbu parametr, shuningdek, bir nechta o'zgaruvchining bir nechta aniqlanmagan funktsiyalarini kiritishga ruxsat beradi, masalan, HINT = ... f1 (x, y) ... f2 (y, z) ....
umumiy bo'lmagan bo'lsa va ma'lum bir PDE uchun mumkin bo'lgan echimlarni batafsil o'rganishga imkon beradigan bo'lsa, bu juda foydali.
HINT opsiyasi bilan quyidagi argumentlardan foydalanish mumkin.
HINT = "+"
Ushbu parametr pdsolve-ni o'zgaruvchilarni summa bo'yicha ajratishga urinishni boshlashga majbur qiladi.
HINT = "*"
Ushbu parametr pdsolve-ni o'zgaruvchilarni mahsulot bo'yicha ajratishga urinishni boshlashga majbur qiladi.
HINT = 'TWS'
Ushbu parametr pdsolve-ni faqat tanh (xi) darajadagi quvvat seriyali sifatida Traveling Wave Solution-ni hisoblashga majbur qiladi, bu erda xi mustaqil o'zgaruvchilarning chiziqli kombinatsiyasini anglatadi.
HINT = 'TWS (math_function_name)'
Ushbu parametr pdsolve-ni faqat Traveling Wave Solution-ni math_function_name (xi) da quvvat qatori sifatida hisoblashga majbur qiladi, bu erda xi mustaqil o'zgaruvchilarning chiziqli kombinatsiyasini ifodalaydi va math_function_name quyidagi matematik funktsiya nomlaridan biri bo'lishi mumkin: exp, ln, sin, cos , tan, ularning ko'paytma inversiyalari csc, sec va cot, mos oltita giperbolik funktsiyalar, arcsinh, o'n ikki elliptik Jacobi funktsiyalari, WeierstrassP funktsiyasi va shuningdek x -> x identifikatsiya funktsiyasi, ular mavjud bo'lganda sof polinom echimlarini hisoblash uchun foydalidir.
HINT = chiziq (faqat birinchi tartibli PDE lar uchun)
Ushbu parametr pdsolve-ni tegishli xarakterli chiziqni echishga urinib echim izlashga majbur qiladi. Bunday holda, pdsolve berilgan PDE bilan bog'liq bo'lgan differentsial invariantlarni topishga va uning umumiy echimini aniqlashga harakat qiladi. Bu, odatda, xarakterli chiziq aniqlanmagan funktsiyani qisman hosilalarini o'zgaruvchilar sifatida kiritish orqali konfiguratsiya maydonini kengaytirishni talab qilmasa mumkin bo'ladi. Aks holda, integral xarakteristikalar qatori _s parametrida qaytariladi.
Konventsiyalar
Pdsolve muntazamligi odatda noaniq funktsiya uchun echimni ifodalash uchun yangi funktsiyalarni taqdim etadi. Masalan:
f (x, y, z) = _F1 (x) + _F2 (y) + _F3 (z)
Pdsolve tomonidan _F bilan boshlanadigan va undan keyin son qo'shilgan barcha funktsiyalar o'z argumentlarining ixtiyoriy, etarlicha farqlanadigan funktsiyalari deb qabul qilinadi.
O'zgaruvchilarni ajratish paytida kiritilgan har qanday o'zboshimchalik barqarorlari _c [1], _c [2], ... sifatida ifodalanadi va global hisoblanadi.
Misollar
Quyidagi misollar bitta PDE-ni echishda pdsolve-dan foydalanishni tasvirlaydi. PDE tizimlarini echish bilan bog'liq misollar uchun pdsolve / system-ga qarang.
1. Birinchi darajali PDE ning umumiy echimi:
PDE: = x * diff (f (x, y), y) -diff (f (x, y), x) = f (x, y) ^ 2 * g (x) / h (y));
2018-04-01 121 2
/ d \ / d \ f (x, y) g (x)
PDE: = x | --- f (x, y) | - | --- f (x, y) | = -------------
\ dy / \ dx / h (y)
ans: = pdsolve (PDE);

1
ans: = f (x, y) = ---------------------------------------- --------

/ / x \
| | g (_a) | / 1 2 \
| | --------------------- d_a | + _F1 | y + - x |
| | / 1 2 1 2 \ | \ 2 /
| / h | - - _a + y + - x | |
\ \ 2 2 / /
Yuqoridagi integral uchun intat-ga qarang. Natijalarni pdetest yordamida sinab ko'rish mumkin.
pdetest (ans, PDE);
2. Sferik koordinatalardagi laplas tenglamasi:
PDE: = Diff (r ^ 2 * diff (F (r, theta, phi), r), r))
+ 1 / sin (teta) * Diff (sin (teta) * diff (F (r, theta, phi), theta), theta)
+ 1 / sin (theta) ^ 2 * diff (F (r, theta, phi), phi, phi) = 0;
/ d / 2 / d \\\
PDE: = | --- | r | --- F (r, theta, phi) |||
\ dr \ \ dr ///

2018-04-01 121 2

d
d / / d \\ ------ F (r, teta, phi)
------- | sin (theta) | ------- F (r, theta, phi) || 2018-04-01 121 2
dtheta \ \ dtheta // dphi
+ ---------------------------------------------- + - ---------------------- =
gunoh (teta) 2
gunoh (teta)

0
Quyida PDESolStruc yordamida ifodalangan eritmaning tuzilishi berilgan (va qaerda yordamida ko'rsatiladi).

F (r, uchun aniq ifoda yaratish uchun

teta
,
phi
), PDEtools [build] (ans) dan foydalanib ko'ring yoki ixtiyoriy argument tuzilishini pdsolve-ga o'tkazing. Ba'zan, masalan, buni belgilash uchun farazlardan foydalanish o'rinli bo'ladi
teta
, sferik koordinatani ifodalovchi, 0 dan gacha
pi
.
0 <= teta, teta <= Pi deb faraz qilib soddalashtirish (pdsolve (PDE, build), size);