Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

                       (2)

yoyilmani  to’g’ri  ekanligini  ko’rsatishimiz  kerak,  bu  yerda 

  lar  tanlab

olingan 

 satrlar bo’yicha olingan barcha minorlar va   lar minorlarga

oid algebraik to’ldiruvchilardir.

                  Lemmalarga  asosan 

  ko’paytmalarning  har  bir  hadi

determinantning  hadi  bo’lib,  ular  bir  xil  ishorali  bo’ladi.  Endi  biz

determinantning ixtiyoriy

hadi  bo’lsin.  Bu  ko’paytmadan  biz  tanlab  olingan 

  satrlarga  tegishli

bo’lgan elementlarning ko’paytmasini olamiz:

.

                  Bu  ko’paytma 

  satrlar  va 

  ustunlarning

kesishmasida  turuvchi    tartibli 

  minorning  umumiy  hadi  bo’lib,  olinmay

qolgan ko’paytuvchilar 

 tartibli 

 to’ldiruvchi minorning umumiy hadi

bo’ladi.

                  Shunday  qilib,  determinantning  har  qanday  hadi  tanlab  olingan  satrlar

bo’yicha 

 minor bilan to’ldiruvchi 

 minorining tarkibiga kiradi. Nihoyat,

determinantda  qanday  bo’lgan  hadni  hosil  qilish  uchun,  to’ldiruvchi  minorni

algebraik minor bilan almashtirish kerak. Endi biz (2) yig’indidagi hadlar soni 

 nechaga teng bo’lishligini ko’rsatamiz. Bizga ma’lumki, 

 minorda   hadlar,

---

 algebraik  to’ldiruvchilarda 

  hadlar  bo’lib, 

  ko’paytmada  esa 

  hadlar  ishtirok  etadi  va  determinantning  o’zida 

  hadlar

bo’lganligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

,

bundan

formulani hosil qilamiz. Teorema to’liq isbot bo’ldi.

         Misol. Ushbu

  tartibli  determinantni  hisoblaymiz.  Bu  determinantni  qulay  joylashgan

nollari  bo’lmish 

  ta  birinchi  va  uchinchi  satrlari  bo’yicha  yoyib

hisoblaymiz. Shunday qilib,

 

bo’lib,

ekanligini topamiz.

---

                  Misoldan  ko’rinib  turibdiki,  nollar  qatnashgan  minorlar  nol  bo’lganligi

tufayli  birdaniga  nollar  ishtirok  etmagan  ko’paytmani,  ya’ni  bizning  misolimiz

bitta ko’paytmani yozib hisoblash lozim edi.

         Laplas teoremasidan foydalanib, determinantlarni hisoblash amalda ancha

hisoblash  nuqtai  nazaridan  ancha  murakkab  masala  bo’lib,  hisoblashni

almashtirish uchun determinantda yetarlicha nollar ishtirok etish uni ancha tezlik

va  osonlik  bilan  hisoblashimiz  mumkin.  Bu  masalani  hal  qilish  uchun  biz

determinantning  xossalaridan  foydalanib,  unga  yetarlicha  nollarni  hosil

qilishimiz,  so’ngra  Laplas  teoremasini  qo’llab  osonlik  bilan  determinantlarni

hisoblashimiz mumkin. Bu masala o’z navbatida berilgan halqada elementlariga

teskari  elementlari  mavjudligiga  olib  keladi.  Agar  biz  determinantlarni

maydonlarda,  xususan 

  va  hokazo  sonli  maydonlar  ustida  qarasak

determinantda nollar paydo bo’lishligini ko’p bo’lishligini ta’minlab olamiz. Biz

bilgan va o’rgangan 

 butun sonlar halqasida teskarilanuvchi elementlar ikkita

1  va  -1  bo’lishligiga  qaramay  bu  yerda  ham 

  halqani  xossalardan:  qoldiqli

bo’lish, Yevklid algoritmi va EKUBni sonlar orqali chiziqli ifodalash foydalanib

determinantda ancha nollar paydo qildirishimiz mumkin. Tabiiyki, 

 halqada

bu  ancha  murakkabroq,  lekin 

  maydonda  bu  muammo  ancha  yaxshi

natijalarni beradi.

                  Bunday  muammolar  tabiiyki,  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechilish

masalasi qo’llanadigan Gauss metodida ham mavjuddir.