|
MA’RUZA 8
n-tartibli determinant tushunchasi. n-tatibli determinant xossalari.
Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar
algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi.
Reja:
1.
n-tartibli determinant tushunchasi.
2.
n-tatibli determinant xossalari.
3.
Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.
4.
Laplas teoremasi.
5.
Matrisalar algebrasi.
6.
Teskari matrisa tushunchasi.
Tayanch iboralar: n-tartibli determinant, minor, algebraik to`ldiruvchi, xos va xosmas
matritsa, teskari matritsa.
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarda n-tartibli matritsaning minorlari, algebraic
to`ldiruvchilari hamda teskari matritsalar haqida bilim va ko`nikmalarni hosil qilish.
Bizga
assosiativ kommutativ halqada (
maydonlar
yoki halqalar ham bo’lishi mumkin) -tartibli kvadratik
(1)
,
matrisa berilgan bo’lsin.
Bu matrisaning ixtiyoriy satr va ustunidan bittadan olingan
ta
elementlarining ko’paytmasini qaraymiz:
ko’paytmaning ko’paytuvchilaridagi indekslaridan
o’rniga qo’yishni tuzib olamiz (bu yerda qulaylik uchun o’rniga qo’yishni
bilan emas balkim
bilan belgilab olamiz) va aksincha har bir
tartibli
o’rniga qo’yishlarda matrisadan shunday ko’paytmani mos qilib qo’yishimiz
mumkin. Ko’paytmani ishorasini o’rniga qo’yishni signaturasi bilan aniqlaymiz,
ya’ni
va quyidagi ko’paytmani hosil qilamiz:
.
Hamma o’rniga qo’yishlar soni
bo’lganligi tufayli, shunday tuzilgan
ko’paytmalarning soni ham
ta bo’ladi va bularning hammasini yig’indisini
olamiz:
(1)
hosil bo’lgan yig’indiga berilgan
tartibli matrisaning determinanti deyiladi
va biz uni quyidagi
belgilar yoki
harflar orqali ifodalaymiz.
Shunday qilib, determinantni belgilar nuqtai nazaridan quyidagicha yozib
olishimiz mumkin:
(2)
Agar (2) ifodada
deb olsak, mos ravishda quyidagi ifodalarni
olamiz:
Masalan, uchinchi tartibli determinantning to’rtinchi ko’paytmasini olsak,
unga
uchinchi tartibli o’rniga qo’yig mos qo’yilgan bo’lib, bu
o’rniga qo’yishni inversiyasi 3 ga tengdir va demak ko’paytma manfiy ishora
bilan yig’indisi ishtirok etadi.
Bu ifodalar
tartibli determinant 2-va3-tartibli determinantlarning
umumlashmasi ekanligini ko’rsatadi.
Endi determinantlar o’rganishda asosiy vazifalarni bajaruvchi xossalarni
keltiramiz.
Xossa 8.1. Matrisani transponirlash natijasida, ya’ni satrlarini ustun qilib
yozilgan, uni qiymati o’zgarmaydi.
Isbot. Haqiqatan, ta’rifga asosan satr va ustunlardan bittadan olingan,
transponirlangan matrisada ustun va satrlarda bittadan olinadi va demak
yig’indidagi har bir ko’paytma ham o’zgarmay qolaveradi, lekin uning ishorasini
aniqlovchi o’rniga qo’yish
ga asosan
o’rniga qo’yishdan, ya’ni o’rniga qo’yishga teskari o’rniga qo’yishdan iborat
bo’lib, ularning signaturalari
tengdir va demak hosil bo’lgan ko’paytma bir xil ishora bilan ham keladi.
Shunday qilib, agar
matrisaning transponirlash bo’lsa, u holda
bo’lar ekan.
Ushbu xossaga binoan determinantlarning qolgan xossalarini faqat satrlari
uchun ta’riflaymiz va isbotlaymiz.
Quyidagi ikki xossalar determinantning istalgan satrlari bo’yicha chiziqli
ekanligini anglatadi.
Xossa 8.2. Agar determinantning biror satri ikkita qo’shiluvchilardan iborat
bo’lsa, u holda bu determinant satrlari shu qo’shiluvchilardan iborat bo’lgan
ikkita determinantning yig’indisidan iborat bo’ladi.
Bu xossani quyidagi formulaviy shaklda yozilishi so’z bilan aytilishidan
oydinroq bo’ladi:
Isbot.
bo’lib, birinchi yig’indi
ga, ikkinchi yig’indi
ga teng bo’ladi.
Isbotlangan xossa determinantning satri bir nechta qo’shiluvchilar bo’lgan
holda ham o’rinlidir.
Xossa 8.3. Agar determinantning biror-bir satri umumiy ko’paytuvchiga
ega bo’lsa, u holda bu umumiy ko’paytuvchini determinant belgisidan tashqariga
chiqarib yozish mumkin, ya’ni
.
Isbot. Haqiqatan,
Xossa 8.4. Agar determinantning biror satri nollardan iborat bo’lsa, u
holda determinant nolga teng bo’ladi.
Isbot. Haqiqatan, ta’rifga asosan yig’indidagi har bir ko’paytmadan shu
satrdan albatta bitta element, ya’ni nol qatnashadi va demak ko’paytma nolga va
ularning yig’indisi bo’lgan determinant ham nolga tengdir.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
