MUHAMMAD
AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
KOMPYUTER INJINIRINGI FAKULTETI
212-20
GURUH TALABASI
NE‟MATOV KAMOLIDDINNING
DISKRET TUZILMALARI
FANIDAN YOZGAN
MUSTAQIL ISHI
Toshkent-2022
Natural sonlar to‘plamiga akslantirish printsipi
Agar biror X to‟plamning har bir x elementiga qandaydir qonuniyat bo‟yicha
yagona f (x) ob‟yekt mos qo‟yilgan bo‟lsa, bu f moslik funktsiya deyiladi. B
munosabat funktsiya yoki
A
Tа‟rif 2. f A to„plamdan B to„plamga
akslantirish
deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa: 1) Dl A , Dr
( f ) B,
( f ) 2) f
(x, y
) 1 , (x, y ) f ekanligidan
2 1 2 y
y ekanligi kelib chiqsa.
Funktsiya B yoki
f :A
f
A B
kabi belgilanadi, agar f
(x, y) bo„lsa, u
holda f (x)
y kabi yoziladi va f funktsiya x elementga y elementni mos qo„yadi
deb gapiriladi. B
y A
elementga x elementning tasviri, x elementga y ning asli
deyiladi. Agar Dl A bo`lsa,
( f ) f funktsiya qismiy funktsiya deyiladi.
Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda
avvalo asosiy tushunchalar
ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi.
To‟plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to‟plamning o‟zidir. To‟plam biror
ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo‟lishi
mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to‟plamning elementlari
tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo‟yish mumkin.
Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:
1) sinflar; 2) to‟plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo‟lgan sinflarlar.
To‟plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin”
munosabati qadamni tartiblaydi.
Har bir to‟plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish
mumkin bo‟ladi.
Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871- 1953 yy)
tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va isroillik matematik Abraxam Adol`f
Frenkel (1891-1965 yil) tomonidan kengaytirildi.
Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi.
ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat: 1 0 . Hajm aksiomasi: To‟plam o‟zining
elementlari bilan to‟liq aniqlanadi.
Ikkita to‟plam teng deyiladi, faqat va faqat ular bir xil elementlardan tashkil topgan
bo‟lsa: B.
A
B)
x
A
x(x
Sanoqli va kontinual to„plamlar. Bizga ma„lum bo„lgan to„plamlar
quvvatlarini
taqqoslaylik. Aytaylik bizga musbat juft sonlar to„plami berilgan bo„lsin {2, 4, 6,
.....}ushbu to„plam bilan natural qator o„rtasida biyektsiya o„rnatish uchun, juft
sonlar to„plami elementlarini quyidagicha nomerlab chiqamiz. 2, 4, 6, 8, ...
1, 2, 3, 4, ...
Biyektsiya k=2n munosabat bilan o„rnatildi, bu erda k- juft sonlar to„plami
elementi qiymati, n – natural qator elementi qiymati. Musbat juft sonlar to„plami
Natural sonlar qatorining qismi bo„lishiga qaramay ularning quvvatlari teng ekan.
Natural va butun sonlar to„plami o„rtasida biyektsiya qurishga urinib ko„ramiz.
Buning uchun butun sonlar qatorini quyidagicha yozib chiqamiz va mos ravishda
natural sonlar bilan nomerlaymiz.
0, -1, 1, -2, 2, ...
1, 2, 3 ,4, 5,
Shunday qilib butun va natural sonlar o„rtasida ekvivalentlik o„rnatiladi, ya‟ni 0 .
Z Ratsional sonlar to„plamining quvvati ham 0
ga teng. Bilamizki ixtiyoriy q
ratsional sonni qisqarmaydigan kasr ko„rinishida ifodalash mumkin: q=m/n, bu
erda m vd n lar butun sonlar.Ratsional son q ning balandligi deb n
m yigindiga
aytiladi. Masalan 1 balandlikka faqat 0/1 son ega bo„ladi, 2 balandlikka 1/1 va -
1/1 sonlar, 3 balandlikka 2/1, 1/2, -2/1, -1/2 sonlar ega bo„ladi. Tushunarliki
berilgan balandlikdagi sonlar soni chekli bo„ladi. Shuning uchun ham barcha
ratsional sonlarni balandliklari oshishiga qarab nomerlab chiqish mumkinki,
hattoki bir xil balandlikka ega bo„lgan sonlar ham o„z nomerlqariga ega bo„lishadi.
Natijada natural va ratsional sonalar o„rtasida biyektsiya o„rnatiladi. Shunday qilib
to„plam sanoqli bo„ladi agar uni natural sonlar qatoriga biyektiv mos qo„yilgan
bo„lsa. Sanoqli to„plamlarning muhim xossalarini keltiramiz. 1-xossa. Sanoqli
to„plamning har qanday qism to„plami yoki chekli yoki sanoqli. 2-xossa. Chekli
yoki sanoqlita sanoqli to„plamlarning yig„indisi yana sanoqli bo„ladi. Aytaylik A1,
A2, ... – sanoqli to„plamlar bo„lsin. A1, A2, ... to„plamlarning barcha
elementlarini
quyidagicha cheksiz jadval ko„rinishida yozish mumkin:
a11 a12 a13 a14 ...
a21 a22 a23 a24 ...
a31 a32 a33 a34 ...
a41 a42 a43 a44 ...
i-qatorda Ai to„plamning barcha elementlari turibdi. Ushbu elementlarni dioganal
bo„yicha nomerlab chiqamiz:
a11
a12 a13
a14 ...
/ /
/
a21 a22 a23 a24 ...
/ / /
a31 a32 a33 a34 ...
/ / /
a41 a42 a43 a44 ...
