Матемагия

Модульные суммы 
Если я не уверен на счёт своего ответа, то иногда проверяю 
решение, используя метод, который я называю модульные суммы 
(потому что он основан на элегантной математике из раздела 
модульной арифметики). Этот метод также известен под именами 
«цифровые корни» и «метод сравнений по модулю 9». Я признаю, что 
он не такой уж практичный, но зато лёгок в использовании.%
С методом модульных сумм вы складываете цифры каждого из 
чисел до тох пор, пока не останетесь с одной единственной цифрой. 
Например, чтобы вычислить модульную сумму 4328, сложите 4 + 3 + 2 + 
8 = 17. Затем сложите цифры числа 17, чтобы получить 1 + 7 = 8. 
Следовательно, модульная сумма 4328 будет 8. Для предыдущей 
задачки модульная сумма каждого из чисел вычисляется следующим 
образом:%

---

Как проиллюстрировано выше, следующий шаг - сложение всех 
модульных сумм вместе (8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5). Это даёт 29, что в сумме 
11, что в свою очередь в сумме 2. Обратите внимание, что модульная 
сумма 8651, ваш набор цифр исходного числа, тоже равняется 2. Это 
не совпадение! Если вы посчитали ответ и модульную сумму 
правильно, то ваша итоговая модульная сумма должна быть такой же. 
Если они различаются, то вы определённо допустили где-то ошибку: 
существует шанс (около 1 к 9), совпадение модульных сумм будет 
случайным. Если существует ошибка, тогда этот метод позволит 
обнаружить её 8 раз из 9. %
Метод модульных сумм в большинстве случаев известен 
математикам и бухгалтерам больше как «метод сравнений по модулю 
9», потому что модульная сумма числа обыкновенно равняется остатку, 
полученному в результате деления на 9. В случае, когда ответ выше 
(8651), модульная сумма была 2. Если вы разделите 8651 на 9, ответ 
будет 961 с остатком 2. Другими словами, если вы будете отбрасывать 
9 из 8651 в общей сумме 961 раз, то будете иметь остаток 2. 
Существует одно маленькое исключение. Напомним, что сумма цифр 
любого кратного 9 также является кратной 9. Отсюда, если число 
является кратным 9, оно будет иметь модульную сумму 9, даже если 
остаток равен 0.
%