Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

FUNKSIONAL VA DARAJALI QATORLAR
 

Funksional qatorlar. 

Darajali qatorlar. 

Yaqinlashish radiusi uchun Dalamber formulasi. 

Yaqinlashish radiusi uchun Koshi formulasi. 

Darajali qatorlarning xossalari. 
 
4.1.
 
Funksional qatorlar.
Oldingi paragrafda biz 
u
n
(
n
=1,2,3,∙ ∙ ∙) cheksiz 
sonlar ketma-ketligidan tuzilgan



1
n
n
u
sonli qatorlar bilan tanishgan edik. Endi bu 
tushunchani umumlashtirib, funksional qator tushunchasini kiritamiz. 
1-TA’RIF:
Agar 
u
n
(
x
) ,
n
=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ , biror 
D
sohada aniqlangan 
funksiyalarning cheksiz ketma-ketligi bo‘lsa, ulardan tuzilgan 









0
2
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
n
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u


(1) 
qator
 funksional qator
deb ataladi. 
Masalan, 
)
(
!
,
)
(
)
1
(
,
)
(
)
1
(
sin
,
)
(
)
1
(
sin
0
0
0
2
0
2
d
x
k
c
x
b
k
x
a
k
kx
k
k
k
k
k
k
k
k















funksional qatorlar bo‘ladi. 
Izoh:
Agar 
u
n
(
x
)=
u
n
=const. (
n
=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ ) deb olsak (1) funksional qator 
sonli qatorga aylanadi. 
2-TA’RIF:
Agar 
x=x
0
=const. holda (1) funksional qatordan hosil bo‘ladigan 









0
0
0
0
2
0
1
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
n
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u


(2) 
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) funksional qator 
x=x
0
nuqtada 
yaqinlashuvchi 
deyiladi , bunday nuqtalar to‘plami esa uning
yaqinlashish sohasi
deb ataladi. 

---

Masalan, yuqorida keltirilgan (
a
) va (
b
) funksional qatorlarning yaqinlashish 
sohasi (–∞ , ∞) bo‘ladi, chunki ixtiyoriy 
x
=
 x
0
uchun






















0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
)
1
(
1
)
1
(
sin
,
)
1
(
1
)
1
(
sin
k
k
k
k
k
k
k
x
k
k
kx
.
Uchinchi (
c
) qatorning yaqinlashish sohasi (–1,1), chunki |
x
|=
q
<1 holda bu qator 
maxraji 0<
q
<1 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlaridan 
tuzilgan qator bilan majorantalanadi. (
d
) funksional qator esa faqat 
x=
0 nuqtada 
yaqinlashuvchi bo‘lishiga Dalamber alomati yordamida ishonch hosil etish mumkin. 
Agar (1) funksional qatorning yaqinlashish sohasi 
D
bo‘lsa, unda har bir 
x=x
0

D
uchun (2) sonli qatorning yig‘indisi biror 
S
(
x
0
) sonidan iborat bo‘ladi. Bundan 
ko‘rinadiki (1) funksional qator yaqinlashish sohasida biror 
S
(
x
) funksiyani aniqlaydi. 
S
(
x
) funksiya (1) 
funksional qatorning yig‘indisi
deyilib,
D
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
S
k
k
n











,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
1
0


, (3) 
kabi ifodalanadi.
Masalan, 



0
k
k
x
funksional qator hadlari birinchi hadi 
b
1
=1, maxraji esa 
q=x
bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi. Shu sababli bu qator |
q
|=|
x
|<1 , ya’ni 
(–1,1) sohada yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
(
x
)=
b
0
/(1–
q
)=1/(1–
x
) funksiyadan 
iborat bo‘ladi.
(1) funksional qatorning dastlabki 
n
+1 ta hadining yig‘indisini 
S
n
(
x
) deb 
belgilaymiz. Agar bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
(
x
) bo‘lsa, (3) 
tenglikka asosan, 
S
(
x
)=
 S
n
(
x
)+
 r
n
(
x
) deb yozish mumkin. Bunda 
r
n
(
x
) 
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
x
u
x
u
x
u
x
r
n
k
k
n
n
n











(4) 
ko‘rinishda bo‘lib, (1) 
funksional qatorning qoldig‘i
 
deyiladi. Agar 
x

D
bo‘lsa, 
unda 
0
)]
(
)
(
[
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim











x
S
x
S
x
r
x
S
x
S
n
n
n
n
n
n
, (5) 
ya’ni yaqinlashuvchi funksional qator qoldig‘i 
n
→∞ bo‘lganda nolga intiladi. 
4.2.
 
Darajali qatorlar.
Endi (1) funksional qatorning xususiy holini 
qaraymiz. 
3-TA’RIF:
Ushbu ko‘rinishdagi funksional qator









0
2
2
1
0
...
...
k
k
k
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
(6) 
darajali qator
dеb ataladi. Bu qatorda 
а
n
( 
n
=0,1,2,3,∙ ∙ ∙) o‘zgarmas sonlar bo‘lib, 
ular 
darajali
qatorning koeffitsiy
е
ntlari
dеyiladi. 
Har qanday darajali qator uchun 
x
=0 uning yaqinlashish nuqtasi bo‘ladi, ya’ni 
uning yaqinlashish sohasi hech qachon bo‘sh to‘plam bo‘lmaydi. (6) darajali 
qatorning yaqinlashish sohasi atigi 27 yil umr ko‘rgan, ammo bu qisqa davrda 
matematika rivojlanishiga juda katta hissa qo‘shgan norvegiyalik matematik 
N.Abelning (1802–1829 y.) ushbu teoremasi yordamida topiladi. 
 
1-TEOREMA
(Abel teoremasi):
а
) Agar (6) darajali qator biror 
x
0
≠0 nuqtada 
yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator 
x
o‘zgaruvchining |
x
|<|
x
0
| 
shartni
qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi ; 

---

b
) agar (6) darajali qator biror 
x
0
nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator
x
o‘zgaruvchining | 
x
| > | 
x
0 
|
tеngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot: 
a
) Teorema shartiga asosan 









0
0
0
2
0
2
0
1
0
...
...
k
k
k
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
sonli qator yaqinlashuvchi shu sababli, qator yaqinlashuvining zaruriy shartiga ko‘ra, 
0
lim
0



n
n
n
x
a
bo‘ladi. Bu holda shunday 
M
>0 soni mavjudki, (6) qatorning barcha 
hadlari uchun 
M
x
a
n
n

0
(*) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Qaralayotgan (6) darajali qatorni quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 









0
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
1
0
)
(
...
)
(
...
)
(
)
(
k
k
k
k
n
n
n
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
x
a
a
. (7) 
Bu qator hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan quyidagi 












0
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
1
0
...
...
k
k
k
k
n
n
n
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
x
a
a
(8) 
musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Yuqoridagi (*) tengsizlikka asosan bu qator 
uchun 












0
0
0
2
0
0
...
...
k
k
n
x
x
M
x
x
M
x
x
M
x
x
M
M
(9) 
majoranta qator bo‘ladi. Agar |
x
|<|
x
0
| 
shart bajarilsa, unda (9) qator hadlari maxraji 
q=|x/x
0
|
<1 bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi va shu sababli 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu yerdan, |
x
|<|
x
0
| 
shartda , (8) qator yaqinlashuvchi ekanligi 
kelib chiqadi. Unda, taqqoslash alomatiga ko‘ra, (7) yoki (6) darajali qator |
x
|<|
x
0
| 
sohada absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
b
) (6) darajali qator 
x=x
0
nuqtada uzoqlashuvchi va |
x
1
|
>
|
x
0
|
 
bo‘lsin. Biz (6) qator 
x=x
1
nuqtada yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. Unda, teoremaning 
a
) qismiga 
asosan, bu qator 
x
o‘zgaruvchining |
x
|
<
|
x
1
| shartni qanoatlantiruvchi barcha 
qiymatlarida, jumladan 
x=x
0
nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa teorema shartiga 
ziddir. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va |
x
|
>
|
x
0
| shartda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Teorema to‘liq isbotlandi. 
Abel teoremasidan foydalanib (6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi 
ko‘rinishi haqida quyidagi xulosaga kelamiz. Agar
x
0 
(6) qatorning yaqinlashish 
nuqtasi bo‘lsa, unda (–|
x
0
|, |
x
0
|) oraliqdagi barcha nuqtalarda qator absolut 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar biror 
x
1 
nuqtada (6) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda [–
|
x
1
|, |
x
1
|] kesmadan tashqaridagi barcha nuqtalarda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Bundan kelib chiqadiki, shunday 
R
≥0 soni mavjudki, |
x
|<
R
holda (6) qator absolut 
yaqinlashuvchi, |
x
|>
R
bo‘lganda esa – uzoqlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, quyidagi 
teorema o‘rinli ekanligi isbotlandi: 
2-TEOREMA:
Har qanday (6) darajali qator (–
R
, 
R
) , 
R
≥0, ko‘rinishdagi 
koordinata boshiga nisbatan simmetrik biror oraliqda yaqinlashuvchi bo‘ladi .