Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

ildizlarning taqribiy qiymatini berilgan ε>0 aniqlikda topish uchun binomial 
qatorlardan foydalaniladi. Buni 
6
68
ildiz qiymatini ε=0.0001 aniqlikda 
hisoblash misolida namoyish etamiz. Buning uchun dastlab 
6
68
ildizni bizga 
qulay ko‘rinishda quyidagicha ifodalaymiz: 
6
/
1
6
6
6
6
)
16
1
1
(
2
16
1
1
2
)
16
1
1
(
64
4
64
68








. 
Bu yerdan ko‘rinadiki, berilgan ildizni hisoblash uchun binomial qatorda α=1/6 
, 
x
=1/16 deb olishimiz kerak. Bu holda ushbu ishorasi navbatlanuvchi sonli 
qatorga ega bo‘lamiz: 
]
16
1
!
)
1
6
1
(
)
1
6
1
(
6
1
16
1
6
1
1
[
2
)
16
1
1
(
2
68
6
/
1
6















n
n
n
 . 
Bu qator hadlarini 5 xona aniqlikda hisoblab, 
02031
.
2
]
000010
.
0
000271
.
0
010417
.
0
1
[
2
)
16
1
1
(
2
68
6
/
1
6









 
taqribiy tenglikni olamiz. Bunda yo‘l qo‘yilgan xatolik, Leybnits alomatidan 
kelib chiqadigan natijaga asosan, 0.00002 sonidan katta emas va shu sababli 
ε=0.0001 aniqlik bilan 
0203
.
2
68
6

bo‘ladi. 
6.2.
 
Funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblash.
Makloren qatorlari 
yordamida berilgan 
y=f
(
x
) funksiyaning biror 
x=x
0
nuqtadagi taqribiy qiymatini talab 
etilgan ε>0 aniqlikda hisoblash mumkin. Buning uchun
y=f
(
x
) funksiyaning 
Makloren qatori 
x=x
0
nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror (–
R
, 
R
) oraliqda 
yaqinlashuvchi va bu yerda uning qoldiq hadi 
R
n
(
x
) uchun (6) shart bajariladi, ya’ni 
0
)
(
lim



x
R
n
n
deb olamiz. Bu holda 
)
,
(
,
!
)
0
(
)
(
0
)
(
R
R
x
x
k
f
x
f
k
k
k






tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan foydalanib
)
,
(
,
!
)
0
(
)
(
)
(
0
0
0
)
(
0
0
R
R
x
x
k
f
x
S
x
f
n
k
k
k
n






, 
taqribiy formulani hosil etamiz. Bunda 
n
qiymati, umumiy holda, 
)
,
0
(
,
)!
1
(
)
(
)
(
0
1
0
)
1
(
0
x
c
x
n
c
f
x
R
n
n
n







, 

---

tengsizlikdan topiladi. 
Bunga misol sifatida ixtiyoriy natural sonning logarifmini hisoblash 
formulasini topish masalasini ko‘ramiz. Bu maqsadda oldin ko‘rilgan 
















1
1
1
4
3
2
)
1
(
)
1
(
...
4
3
2
)
1
ln(
k
k
k
n
n
k
x
n
x
x
x
x
x
x

(1) 
Makloren qatorida 
x 
o‘zgaruvchini –
x
bilan almashtirib,
)
1
,
1
(
,
1
1
...
4
3
2
)
1
ln(
0
1
1
4
3
2




















x
k
x
n
x
x
x
x
x
x
k
k
n

,
(2) 
Makloren qatoriga ega bo‘lamiz. (1) va (2) Makloren qatorlari yordamida faqat (0,2] 
yarim oraliqda yotgan sonlarni logarifmini hisoblash mumkinligini ta’kidlab o‘tamiz. 
Bundan tashqari (1) yoki (2) darajali qatorlardan mos ravishda 
x
=1 yoki 
x
=–1 
chegaraviy nuqtalarda hosil bo‘ladigan sonli qatorlar o‘zlarining 
S
=ln2 yig‘indisiga 
juda sekin yaqinlashadi. Masalan, (1) darajali qatorda 
x
=1 deb hosil qilinadigan sonli 
qator yordamida ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun bu qatordagi kamida 
1000 ta qo‘shiluvchi yig‘indisini topish kerak.
Shu sababli bu yerda boshqacha yo‘l tutamiz. (1) va (2) Makloren qatorlarini 
hama-had ayirib, ushbu natijaga kelamiz: 























1
2
7
5
3
2
1
1
ln
)
1
ln(
)
1
ln(
1
2
7
5
3
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
 
. (3)
Bu yеrda 
x
=1/(2
m
+1) , 
m
=1,2,3,∙∙∙ , holda 0<
x
<1 va 
m
m
m
m
x
x
1
2
)
1
(
2
1
1






bo‘ladi. Bu holda (3) Makloren qatoridan ushbu sonli qatorga ega bo‘lamiz: 




















1
2
5
3
)
1
2
)(
1
2
(
1
)
1
2
(
5
1
)
1
2
(
3
1
1
2
1
2
1
ln
n
m
n
m
m
m
m
m
. 
Bu yerdan natural sonlarning logarifmlarini hisoblash uchun quyidagi rekurrent 
formulaga ega bo‘lamiz: 

,
3
,
2
,
1
,
)
1
2
)(
1
2
(
1
2
ln
)
1
ln(
0
1
2










m
m
k
m
m
k
k
. (4) 
Masalan, bu formulada 
m
=1 dеb olsak


















1
2
5
3
3
)
1
2
(
1
...
3
5
1
3
3
1
3
1
1
2
2
ln
n
n
(5)
 
tenglik hosil bo‘ladi. Bunda ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun nechta 
qo‘shiluvchini olish kerakligini aniqlash maqsadida (5) musbat hadli sonli qatorning 
R
n
qoldiq hadini baholaymiz: 


















5
2
3
2
1
2
3
)
5
2
(
1
3
)
3
2
(
1
3
)
1
2
(
1
2
n
n
n
n
n
n
n
R


















5
2
3
2
1
2
3
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
1
2
n
n
n
n
n
n

---

1
2
2
1
2
4
2
1
2
3
)
1
2
(
4
1
3
1
1
3
)
1
2
(
2
]
3
1
3
1
1
[
3
)
1
2
(
2















n
n
n
n
n
n

. 
Demak, (28) qatorning qoldiq hadi uchun 
1
2
3
)
1
2
(
4
1



n
n
n
R
(6) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Undan 
,
001
.
0
0018
.
0
540
1
,
001
.
0
02778
.
0
36
1
2
1






R
R
001
.
0
0001
.
0
6804
1
3



R
, 
ya’ni ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun (5) qatorda atigi uchta 
qo‘shiluvchini olish kifoya ekanligini ko‘ramiz. Demak, 
...
693004
.
0
3
5
1
3
3
1
3
1
1
2
2
ln
5
3











 
. 
Jadvaldan 5 xona aniqlikda ln2=0.69315 ekanligini ko‘rish mumkin. Bundan 
yuqoridagi ln2 uchun taqribiy tenglik uch xona aniqlikda ekanligi kelib chiqadi.
 
6.3.
 
Limitlarni hisoblash. 
Darajali qatorlarni limitlarni hisoblashga ham 
tatbiq etish mumkin. Buni quyidagi ikkita misolda namoyish qilamiz. 
1) 
x
x
x
x
e
L
x
x
sin
2
2
2
lim
2
0






. Bu limitni hisoblash uchun
f
(
x
)
=
sin
x 
va 
f
(
x
)
=
e
x
 
funksiyalarni ularning Makloren qatorlari bilan almashtiramiz: 
















)
!
7
!
5
!
3
(
2
2
)
!
4
!
3
!
2
1
(
2
lim
7
5
3
2
4
3
2
0


x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
x
 
2
!
3
1
!
3
2
!
5
!
3
1
)
!
4
!
3
1
(
2
lim
!
5
!
3
)
!
4
!
3
(
2
lim
2
0
5
3
4
3
0





















x
x
x
x
x
x
x
x
. 
2) 



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
1
)
!
4
!
3
!
2
1
(
)
!
6
!
4
!
2
1
(
1
lim
1
cos
1
lim
4
3
2
6
4
2
0
0


 
1
!
2
1
!
2
1
!
4
!
3
!
2
1
!
6
!
4
!
2
1
lim
!
4
!
3
!
2
!
6
!
4
!
2
lim
2
4
2
0
4
3
2
6
4
2
0






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x