Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

8.2.
 
II tur xosmas integrallar.
Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral 
tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan 
y=f
(
x
) funksiya (
a
,
b
] yarim oraliqda chegaralanmagan, 
ammo ixtiyoriy 
]
,
0
(
a
b



uchun bu funksiya [
a+
ε
,
b
] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi 
bo‘lsin. Bu holda
 
,
]
,
0
(
,
)
(
)
(
a
b
dx
x
f
F
b
a








 
funksiyani qarash mumkin. 
5-TA’RIF:
 F
(
ε
) funksiyaning 
ε
→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan 
f
(
x
) funksiyaning [
a
,
b
] 
kesma bo‘yicha 
II tur xosmas integrali
deb ataladi. 
Berilgan 
f
(
x
) funksiyaning [
a
,
b
] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi 
va aniqlanadi: 
dx
x
f
F
dx
x
f
b
a
b
a













)
(
lim
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
(
8
) 
limitga aytiladi.
6-TA’RIF: 
Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral 
yaqinlashuvchi
deyiladi. Aks holda bu xosmas integral 
uzoqlashuvchi
dеb ataladi. 
Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz: 
)
0
,
0
(
)
(
0









b
x
dx
I
b
. (9) 
Bu yerda uch holni qaraymiz. 
1)
 
Dastlab 0<α<1 holni tahlil etamiz: 
































1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
)
(
lim
1
1
1
lim
lim
)
(
b
b
x
x
dx
I
b
b
. 
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati 
b
1–α 
. 
2) 
Endi α=1 holni o‘rganamiz: 













)
ln
(ln
lim
ln
lim
lim
)
1
(
0
0
0
0
0
0






b
x
x
dx
I
b
b
. 
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
3)
α>1 holni qaraymiz:


















)
(
lim
1
1
1
lim
lim
)
(
1
1
0
0
1
0
0
0
0













b
x
x
dx
I
b
b
. 
Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<α<1 holda yaqinlashuvchi, α≥1 holda esa uzoqlashuvchi 
ekan. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, 
y
=1/
x
α
, 
x
=0, 
x
=
b
>0, 
y
=0 chiziqlar bilan 
chegaralangan cheksiz geometrik shaklning 
S
yuzasi 0<α<1 holda chekli va 
S
=
 b
1–α
(keyingi betdagi 
85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan. 
y=f
(
x
) funksiya [
a
,
b
) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy 
]
,
0
(
a
b



uchun bu 
funksiya [
a
,
b–
ε
] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda 
f
(
x
) funksiyaning II 
tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi: 
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a








)
(
lim
)
(
0
0
. 
Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral 
yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi. 
Masalan,

---

2
)
1
(
lim
2
1
lim
2
1
lim
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0



























x
x
dx
x
dx
I
. 
Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi. 

















)
2
(
lim
lim
cos
lim
cos
0
0
2
0
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2










tg
tg
x
x
dx
x
dx
J
. 
Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi. 
Agar 
y=f
(
x
) funksiya [
a
,
b
] kesmaning biror ichki 
x=c
nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu 
holda II tur xosmas integral 





b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
(10) 
tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif 
singari aniqlanadi. 
II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari 
oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi. 
8.3.
 
Aralash turdagi xosmas integrallar.
Agar 
y=f
(
x
) funksiya 
x=a 
nuqtada 
chegaralanmagan bo‘lsa, unda [
a
,+∞) yoki (–∞, 
a
] cheksiz yarim oraliqlar bo‘yicha aralash turdagi 
xosmas integrallar 
),
(
)
(
)
(
)
(










b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
b
a
a
)
(
)
(
)
(
)
(
a
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
c
c
a













kabi aniqlanadi. Bunda tengliklarning o‘ng tomonidagi I va II turdagi xosmas integrallarning 
ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo‘lsa aralash turdagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi, aks holda 
esa uzoqlashuvchi deb hisoblanadi. 
Masalan, 










x
x
x
x
x
f
1
,
/
1
1
0
,
/
1
)
(
2
funksiya uchun 



0
)
(
dx
x
f
I
xosmas integralni qaraymiz: 
2
1
1
2
1
0
1
1
0
0
1
1
)
(
)
(
)
(
I
I
dx
x
dx
x
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
I















, 
2
2
lim
1
lim
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1














x
dx
x
dx
x
I
,
1
)
1
(
lim
1
lim
1
1
1
2
1
2
2












b
b
b
b
x
dx
x
dx
x
I
. 
Demak, aralash turdagi 
I
integral yaqinlashuvchi va uning qiymati 
I=I
1
+
 I
2
=3 .
 
Xuddi shunday tarzda aralash turdagi 






0
0
2
0
,
,
x
dx
x
dx
x
dx
xosmas integrallar uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin va bu o‘quvchiga mustaqil ish 
sifatida havola etiladi. 
 
XULOSA 
Aniq integral ta’rifida integrallash sohasi chekli kesma va integral ostidagi funksiya 
chegaralangan deb qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda bu shartlardan kamida 
bittasi bajarilmaydigan vaziyatlar paydo bo‘ladi. Misol sifatida cheksiz geometrik shakllarning 
yuzasini hisoblash masalasini ko‘rsatish mumkin. Bunday hollarda xosmas integrallar 
tushunchasidan foydalaniladi. Ular ma’lum bir aniq integral qiymatlarining u yoki bu holdagi limiti 
kabi aniqlanadi. Bu limit mavjud va chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa 
uzoqlashuvchi deyiladi.

---

Integrallash sohasining kamida bitta chegarasi cheksiz bo‘lgan holda I tur xosmas integral 
tushunchasiga kelamiz. Agar integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lsa, unda II tur xosmas 
integralga ega bo‘lamiz. Chegaralaridan kamida bittasi cheksiz va integral ostidagi funksiya 
chegaralanmagan bo‘lgan xosmas integrallar aralash turli deb ataladi. 
Tayanch iboralar 
 
* I tur xosmas integral * Xosmas integralning geometrik ma’nosi * Yaqinlashuvchi xosmas 
integral * Uzoqlashuvchi xosmas integral *Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral * Shartli 
yaqinlashuvchi xosmas integral * II tur xosmas integral * Aralash turdagi xosmas integral .
Takrorlash uchun savollar 
 
1.
Xosmas integral tushunchasi qayerdan paydo bo‘ladi? 
2.
I tur xosmas integral qanday ta’riflanadi? 
3.
I tur xosmas integralning geometrik mazmuni nimadan iborat? 
4.
Qachon xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi? 
5.
Qachon xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi? 
6.
Xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli sharti nimadan iborat?
7.
Xosmas integral qaysi shartda uzoqlashuvchi bo‘ladi? 
8.
Qachon xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi? 
9.
Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral qanday xossaga ega? 
10.
Qachon xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deyiladi? 
11.
II tur xosmas integral qanday ta’riflanadi? 
12.
Aralash turdagi xosmas integral qanday aniqlanadi?