Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

integrallash
deyiladi. 
 
x
f
funksiya yoki 
 
dx
x
f
differensialning boshlang’ich funksiyalari 
to’plami aniqmas integral deyiladi va 
 

dx
x
f
simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar 
 


 
dx
x
f
C
x
F
d


bo’lsa,
 
 



C
x
F
dx
x
f
(8.1) 
bo’ladi. 
Bu yerda 
 
x
f
integral ostidagi funksiya; 
 
dx
x
f
- integral ostidagi ifoda; C – integrallash o’zgarmasi, 
x
-
integrallash o’zgaruvchisi, 

-integral belgisi.
2
. Aniqmas integralning asosiy xossalari: 
a) funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng: 
 
 



C
x
F
x
dF






2
2
2
2
1
4
;
2
1
2
;
2
1
1
y
x
z
y
x
z
z
y
x
z
yy
yx
xy
xx


















y
x


sin




y
x
y
x
2
2
sin
/
2
2
cos
4
2




 

2
/
2
y
x
y
x
x




xy
xy
xy
y
y
sin
cos
2
2
2




y
x
y
cos
cos
sin



   




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
y
x
xydxdy
dx
dy
y
x
y
x








2
cos
dy
dx
y
x









y
y
y
y
e
ax
e
ax
e
ae



cos
sin


y
e
z
y
x
e
e
y
x
e
z
x
y
x
x
x
x
2
;
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2























0
0
y
x
z
z


0
;
2

;
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
























y
x
e
e
y
x
e
z
x
x
x
xx
2
2
2
;
x
yy
x
yx
xy
e
z
C
y
e
z
z
B




















1
2
1
2
1
2
2
y
x
e
B
AC
x


0
;
2

0




x
e
0
2
1
1





e
z
A
xx


0
;
2





e
e
z
2
0
2
0
;
2
3
2
min







 
2
1
;
1
min

z
x
x
x
z
y
yx
z
y
y
y
x







ln
,
1
0
,
0




y
x
z
z
0


x
z
 
0
;
1
 
1
;
1


.
0
1
ln
0
ln
e
x
x
x
x
x
x
y







 
1
;
e




x
x
z
C
x
y
x
z
B
x
y
y
z
A
yy
y
xy
y
xx
2
2
1
2
ln
;
1
ln
1
;
1
1

















---

b) Aniqmas integralning differensiali integral ostidagi ifodaga, aniqmas integralning hosilasi esa integral ostidagi 
funksiyaga teng: 
 


 
 


 
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
d





,
(8.2) 
c) Funksiyalar algebraik yig’indisining (ayirmasining) aniqmas integrali bu funksiyalar aniqmas integrallarining 
yig’indisiga (ayirmasiga) teng: 
   


 
 






dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
(8.3) 
d) o’zgarmas ko’paytuvchi aniqmas integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin 


const
a

: 
 
 


const
a
dx
x
f
a
dx
x
af




,
(8.4) 
e) agar 
 
 



C
x
F
dx
x
f
bo’lib, 
 
x
u


uzluksiz hosilaga ega bo’lgan istalgan ma’lum funksiya bo’lsa,
 
 



C
u
F
du
u
f
(8.5) 
bo’ladi. 
3
. Integrallashning asosiy formulalari. 


C
dx
0
(8.6) 



C
x
dx
(8.7) 









1
;
1
1
n
C
n
x
dx
x
n
n
(8.8) 



C
x
x
dx
ln
(8.9) 





1
;
0
;
ln
a
a
C
a
a
dx
a
x
x
(8.10) 



C
e
dx
e
x
x
(8.11) 




C
x
xdx
cos
sin
(8.12) 



C
x
xdx
sin
cos
(8.13) 



C
tgx
x
dx
2
cos
(8.14) 




C
ctgx
x
dx
2
sin
(8.15) 
0
;
;
ln
2
1
2
2










a
a
x
a
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
(8.16) 






C
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
2
ln
(8.17) 




C
a
x
x
a
dx
arcsin
2
2
(8.18) 




C
a
x
arctg
a
a
x
dx
1
2
2
(8.19) 



C
x
tg
x
dx
2
ln
sin
(8.20) 







 

C
x
tg
x
dx
4
2
ln
cos

(8.21) 



C
chx
shxdx
(8.22) 



C
thx
x
ch
dx
2
(8.23) 




C
cthx
x
sh
dx
2
(8.24) 

---

Yoyish yo`li bilan integrallash berilgan integralni sodda integrallarning yigindisiga keltirishdan iboratdir. 
4
. 
Bevosita integrallash
. Bevosita integrallash jadval integrallaridan bevosita foydalanishga asoslangandir. Bu yerda 
quyidagi hollar ro’y berishi mumkin: 
a) berilgan integral tegishli jadval integrali yordamida topiladi; 
b) berilgan integralga (8.3) va (8.4) xossalarni qo’llanilgandan so’ng bir yoki bir necha jadval integraliga keltiriladi; 
v) berilgan integral integral osti funksiya ustida elementar shakl almashtirishdan so’ng (8.3) va (8.4) xossalar 
qo’llanilgandan bir yoki bir nechta jadval integraliga keltiriladi. 
 
 
 
“A” guruh 
 
1-10 Ushbu aniqmas integrallarni topib, to’g’riligini differensiallash yordamida tekshiring. 
8.1.
dx
х
х
х









4
3
3
4
2
3
 
8.2. 









2
3
2
5
8
2
5
x
x
x
 
 
 
 
8.3. 
dx
x
x
x









3
3
4
2
 
 
8.4.
dx
x
x
x









3
2
4
4
3
 
 
 
8.5. 
dx
x
x
x









3
2
3
6
5
3
7
 
 
8.6. 
dx
x
x









6
4
3
3
5
1
 
 
8.7.
dx
x
x
x









3
3
5
2
1
3
2
 
 
 
8.8. 
dx
x
x









5
3
2
1
4
4
 
 
 
8.9.
dx
x
x
x









4
6
5
8
7
2
8.10. 
dx
x
x
x









6
6
6
3
7
5
2
 
“B” guruh 
 
Aniqmas integrallarni toping
. 
8.11 
xdx
x
sin
cos
 
 
 
 
8.21 
dx
x
x

2
cos
sin
 
8.12 

x
dx
x
3
)
(ln
 
 
8.22 


dx
x
x
3
2
3
2
 
8.13 
dx
x
arctgx


2
1
 
 
8.23
dx
x
x
3
4
3
5


 
8.14 

dx
x
x
3
sin
cos
 
 
8.24 
dx
e
x
x
1
2
3


 
8.15 
xdx
e
x
2


 
 
 
 
8.25 


dx
x
x
1
8
4
3
 
8.16


dx
x
x
4
2
 
 
 
 
8.26


dx
x
x
3
2
2
 
8.17 
x
dx
x


ln
 
 
8.27


2
2
1
arcsin
x
dx
x