Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

ishorasi navbatlashuvchi qator
dеb ataladi. 
Masalan, 










n
n
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
1
, (2) 











1
2
1
)
1
(
7
1
5
1
3
1
1
1
n
n
, (3) 

















1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
2
1
1
2
1
n
n
(4) 
ishorasi navbatlanuvchi qatorlar bo‘ladi. Bunday qatorlar yaqinlashuvini quyidagi 
teorema yordamida tekshirish mumkin. 
1-TEOREMA
(Leybnits alomati)
: 
Ishorasi navbatlashuvchi (1) qatorning 
hadlari absolut qiymatlari bo‘yicha monoton kamayuvchi va nolga intiluvchi, ya’ni 
u
1 
> 
u
2 
> 
u
3 
> ∙ ∙ ∙ > 
u
n
> ∙ ∙ ∙ (5) va
0
lim



n
n
u
(6) 
shartlarni qanoatlantirsin. Unda bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
uchun 
0 u
1
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
Isbot:
(1) qatorning dastlabki 
n
=2
m 
ta (
m
=1,2,3, ∙ ∙ ∙) hadidan hosil qilingan 
S
2
m
xususiy yig‘indilar ketma-ketligini qaraymiz: 
)
(
)
(
)
(
2
1
2
4
3
2
1
2
m
m
m
u
u
u
u
u
u
S









. 
Teoremadagi (5) shartga asosan bu yig‘indida har bir qavs ichidagi ifoda musbatdir. 
Bu yerdan 
S
2
m
>0 va monoton o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi 
S
2
m
 
xususiy 
yig‘indini quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz: 
m
m
m
m
u
u
u
u
u
u
u
u
S
2
1
2
2
2
5
4
3
2
1
2
)
(
)
(
)
(












. 
Bunda, (5) shartga ko‘ra, har bir qavs ichidagi ifoda musbat va shu sababli 
S
2
m
<
u
1
bo‘ladi. Shunday qilib, 
S
2
m
xususiy yig‘indilar ketma-ketligi monoton o‘suvchi va 

---

yuqoridan 
u
1 
soni bilan chegaralangan. Bundan 
S
S
m
m



2
lim
limit mavjud va 0<
S
≤
u
1
ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema tasdig‘i faqat 
n
=2
m
hol uchun isbotlandi. 
Agar 
n
=2
m
+1 bo‘lsa, unda teoremadagi (6) shart va oldingi natijadan foydalanib, 
ushbu tenglikka ega bo‘lamiz: 
S
S
u
S
S
u
S
S
m
n
m
n
m
n
m
m
m


















0
lim
lim
lim
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
. 
Demak, 
S
S
n
n



lim
limit mavjud, ya’ni ishorasi navbatlanuvchi (1) sonli qator 
yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 0<
S
≤
u
1
bo‘ladi. Teorema isboti yakunlandi. 
Masalan, yuqorida keltirilgan (2) va (3) ishorasi navbatlanuvchi qatorlar Leybnits 
alomatidagi ikkala shartni ham qanoatlantiradi va shu sababli ular yaqinlashuvchi 
bo‘lib, ularning yig‘indilari 
u
1
=1 sonidan katta bo‘lmaydi. Kelgusida [§5, (22) ga 
qarang] (2) qator yig‘indisi 
S
=ln2 , (3) qator yig‘indisi esa [§6, (7) ga qarang] 
S
=π/4 
ekanligini ko‘ramiz. Ishorasi navbatlanuvchi (4) qator uchun Leybnits alomatining 
(6) sharti bajariladi, ammo bu qator hadlari monoton kamayuvchi emas, ya’ni (5) 
shart bajarilmaydi. Shu sababli bu qator uchun Leybnits alomatini qo‘llab bo‘lmaydi. 
Bu qatorni tekshirish uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 

























1
1
1
1
2
)
1
1
)(
1
1
(
)
1
1
(
)
1
1
(
(
)
1
1
1
1
1
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Bu yerdan ko‘rinadiki (4) qator uzoqlashuvchi, chunki u garmonik qatorni ikkiga 
ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan. 
3.2.
 
Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar. 
Endi ishorasi navbatlanuvchi sonli 
qatorlarni xususiy hol sifatida o‘z ichiga oluvchi ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni 
qaraymiz.
 
2-TA’RIF:
Agar sonli qatorning hadlari orasida musbat qiymatlilari ham, 
manfiy qiymatlilari ham bo‘lsa, u
 ishorasi o‘zgaruvchi qator
dеb ataladi. 
Ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlarni 










1
2
1
k
k
n
u
 
 u
 u
 
u
(7) 
ko‘rinishda yozsak, unda 
u
n
(
n
=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) ishoralari ixtiyoriy bo‘lishini yana bir 
marta ta’kidlab o‘tamiz. 
Masalan, 









8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
, 







n
n
sin
3
3
sin
2
2
sin
1
sin
ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlar bo‘ladi. 
Ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvini tekshirish uchun uning 
hadlarini absolut qiymatlaridan tuzilgan










1
2
1
k
k
n
u
 
u
 
u
 
 
u
(8) 
musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvining 
yetarli sharti ushbu teorema orqali ifodalanadi. 

---

2-TEOREMA:
Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) qator ham 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot: 
S
n
va
||
S
n
|| orqali mos ravishda (7) va (8) sonli qatorlarning 
n
-
xususiy 
yig‘indilarini
belgilaymiz.
Bundan tashqari 

n
S
va 

n
S
orqali mos ravishda 
S
n
 
xususiy yig‘indiga kiruvchi musbat ishorali hadlar va manfiy ishorali 
hadlarning absolut qiymatlari yig‘indilarini belgilaymiz. 

n
S
va 

n
S
 (
n
=1,2,3, ∙ ∙ ∙ 
) musbat qiymatli va monoton o‘suvchi sonli ketma-ketliklarni tashkil etadi. 
Teorema shartiga ko‘ra 
A
S
n
n



lim
mavjud va chekli. Bu yerdan, 




n
n
n
S
S
S
tenglikka asosan, monoton o‘suvchi 

n
S
va 

n
S
(
n
=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) 
ketma-ketliklar yuqoridan 
A
musbat son bilan chegaralangan ekanligi kelib 
chiqadi. Bu xulosadan o‘z navbatida 










S
S
S
S
n
n
n
n
lim
,
lim
 limitlar mavjud 
va chekli ekanligini ko‘ramiz. Va nihoyat, 




n
n
n
S
S
S
 ekanligidan hamda limit 
xossalaridan foydalanib, 




















S
S
S
S
S
S
S
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lim
lim
)
(
lim
lim
natijani olamiz. Bundan, ta’rifga asosan, ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator 
yaqinlashuvchi ekanligiga ishonch hosil etamiz. Teorema isboti yakunlandi. 
Misol sifatida 
)
0
(
cos
3
3
cos
2
2
cos
cos
3
3
3















n
n
(9) 
ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorning yaqinlashuvini tekshiramiz. Buning uchun uning 
hadlari absolut qiymatlaridan tuzilgan
)
0
(
cos
3
3
cos
2
2
cos
cos
3
3
3















n
n
(10) 
sonli qatorni qaraymiz. Bu qatorda |cos
n
α|≤1ekanligidan uning uchun







3
3
3
1
3
1
2
1
1
n
majoranta qator bo‘ladi. Bu qator parametri 
p
=3>1 bo‘lgan umumlashgan garmonik 
qator sifatida yaqinlashuvchi. Demak (10) qator yaqinlashuvchi va shu sababli (9) 
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
3.3.
 
Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar. 
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan 2-
teoremadagi shart ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvi uchun yetarli, 
ammo zaruriy bo‘lmaydi. Demak (7) qator yaqinlashuvchi ekanligidan (8) qatorning 
yaqinlashuvchiligi har doim ham kelib chiqmaydi. Masalan,










n
n
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
1
(11)
ishorasi navbatlanuvchi (demak ishorasi o‘zgaruvchi ) sonli qator Leybnits alomatiga 
ko‘ra yaqinlashuvchi. Ammo uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan 








n
1
4
1
3
1
2
1
1
sonli qator parametri 
p
=0.5<1 bo‘lgan umumlashgan garmonik qator sifatida 
uzoqlashuvchi bo‘ladi.

---

3-TA’RIF:
 
Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ishorasi o‘zgaruvchi (7) 
sonli qator 
absolut yaqinlashuvchi
dеyiladi. Agar (8) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, 
ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) 
shartli 
yaqinlashuvchi qator
dеb ataladi. 
Masalan, (9) qator absolut , (11) qator esa shartli yaqinlashuvchidir. 
Absolut yaqinlashuvchi



1
k
k
u
sonli qatorlar chekli 


n
k
k
u
1
yig‘indilarga o‘xshash 
xususiyatlarga ega bo‘ladi. Masalan, ularni o‘zaro qo‘shganda, ayirganda yoki 
ko‘paytirganda yana absolut yaqinlashuvchi sonli qatorlar hosil bo‘ladi. Bundan 
tashqari ular uchun quyidagi teorema ham o‘rinlidir. 
3-TEOREMA:



1
k
k
u
qator absolut yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
bo‘lsin. Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil 
bo‘lgan 



1
~
k
k
u
sonli qator ham
 
absolut yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ham 
S
bo‘ladi. 
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Ammo shartli yaqinlashuvchi sonli qatorlar uchun yuqoridagi teorema tasdig‘i o‘rinli 
bo‘lmaydi. Bu mashhur olmon matematigi G.Riman (1826–1866 y.) tomonidan 
isbotlangan ushbu teoremadan kelib chiqadi. 
4-TEOREMA:



1
k
k
u
qator shartli yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
bo‘lsin. 
Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil 
bo‘lgan 



1
~
k
k
u
sonli qator yig‘indisi oldindan berilgan ixtiyoriy 
S
0
≠
S
soniga teng 
bo‘ladi. Bundan tashqari 



1
~
k
k
u
sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishiga ham erishish 
mumkin. 
Bu teoremaning isboti ancha murakkab bo‘lgani uchun buni ham isbotsiz qabul 
etib, undagi tasdiqni ushbu misol orqali ko‘rsatish bilan chegaralanamiz. Bizga 
ma’lumki, oldin ko‘rib o‘tilgan (2) sonli qator 










n
n
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
1
shartli yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
=ln2. Bu qator hadlarining joylarini 
shunday almashtiramizki, bitta musbat haddan keyin ikkita manfiy had kelsin: 

















k
k
k
4
1
2
4
1
1
2
1
12
1
10
1
5
1
8
1
6
1
3
1
4
1
2
1
1
Berilgan va hosil etilgan sonli qatorlarning 
n
-xususiy yig‘indilarini mos ravishda 
S
n
 
va 
n
S
~
kabi belgilaymiz. Bu holda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: 
















)
4
1
2
4
1
1
2
1
(
)
12
1
10
1
5
1
(
)
8
1
6
1
3
1
(
)
4
1
2
1
1
(
~
3
n
n
n
S
n












)
4
1
2
4
1
(
)
12
1
10
1
(
)
8
1
6
1
(
)
4
1
2
1
(
n
n


---

n
S
n
n
2
2
1
)
2
1
)
1
(
2
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
(
2
1












. 
Bu yerdan quyidagi natijalar kelib chiqadi: 
,
2
ln
2
1
2
1
2
1
lim
~
lim
2
3







S
S
S
n
n
n
n
,
2
ln
2
1
0
2
ln
2
1
1
2
1
lim
~
lim
)
1
2
1
~
(
lim
~
lim
3
3
1
3


















n
S
n
S
S
n
n
n
n
n
n
n
2
ln
2
1
0
2
ln
2
1
2
4
1
lim
~
lim
)
2
4
1
~
(
lim
~
lim
1
3
1
3
2
3




















n
S
n
S
S
n
n
n
n
n
n
n
. 
Demak, 
2
ln
2
1
~
lim



n
n
S
, ya’ni hosil qilingan qator yaqinlashuvchi va uning 
yig‘indisi berilgan qator yig‘indisining yarmiga teng. 
XULOSA 
Oldin ko‘rib o‘tilgan taqqoslash,Dalamber, Koshi va integral alomatlari faqat 
musbat hadli sonli qatorlar xarakterini aniqlashga imkon beradi. Endi bu masalani 
ixtiyoriy hadli sonli qatorlar uchun qaraymiz. Bunday qatorlarning xususiy holi 
bo‘lmish ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlarning yaqinlashuvi Leybnits alomati 
yordamida aniqlanadi. Bu alomat qator yig‘indisini baholash imkonini ham beradi.
Umumiy holda berilgan ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorni tekshirish uchun uning 
hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan musbat hadli qatordan foydalaniladi. Agar 
bu qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ishorasi o‘zgaruvchi sonli qator ham 
yaqinlashuvchi bo‘ladi va u absolut yaqinlashuvchi deyiladi. Ammo teskari tasdiq har 
doim ham o‘rinli bo‘lmaydi. Berilgan ishorasi o‘zgaruvchi qator yaqinlashuvchi 
bo‘lib, uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan qator uzoqlashuvchi bo‘lishi 
mumkin. Bu holda berilgan qator shartli yaqinlashuvchi deb ataladi. Absolut 
yaqinlashuvchi sonli qatorda uning hadlari o‘rinlarini ixtiyoriy ravishda 
o‘zgartirganimizda, uning yig‘indisi o‘zgarmay qoladi. Bu xossa shartli 
yaqinlashuvchi qatorlar uchun bajarilmasligi Riman teoremasida ko‘rsatiladi.