100 лет со дня рождения

A
2
-множества следует су-
ществование 
CA
-множества без совершенного ядра;
2) из существования 
A
2
-множества, лишённого свойства Бэра, 
так же следует существование 
CA
-множества без совершенного ядра.
Он же установил, что не существует других логических зависи-
мостей между следующими тремя предположениями:
А) наличие неизмеримого 
A
2
-множества;
Б) наличие 
A
2
-множества, лишённого свойства Бэра;
В) наличие 
CA
-множества без совершенного ядра.
Во время Великой Отечественной войны многие близкие уче-
ники П.С. Новикова служили в армии.
Некоторые (Янков, Вихман, Лукьянов) не вернулись. Вернув-
шимся было не просто возвратиться к творческой научной работе 
после военного перерыва. Чтобы помочь своим ученикам восста-
новить научную форму, П.С. Новиков организовал семинар по тео-
рии алгоритмов 
–
это было новое направление, тесно примыкаю-
щее к математической логике и идейно связанное с вопросами 
оснований математики и теории множеств, которое сильно разви-
лось за границей, главным образом в США, в конце 1930-х 
– 
нача-
ле 1940-х годов. В Советском Союзе теория алгоритмов в тот мо-
мент бы ла недостаточно известна. Вернувшиеся из армии ученики 
П.С. Но викова имели разнообразные служебные обязанности, они 
были обременены бытовыми трудностями послевоенного периода, 
поэтому устроить такой семинар в дневное время в университете, в 
Ленинском пединституте или Математическом институте им. Стек-
лова было трудно. Ввиду этого П.С. Новиков решил собирать се-

---

129
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
минар вечером у себя дома. Участники семинара расходились не-
редко после 12 часов ночи.
Все участники до сих пор вспоминают этот семинар с глубо-
кой благодарностью, так как он оказал большое влияние на науч-
ные интересы и научное мировоззрение участников и содействовал 
возвращению их к научной работе. В частности, автор настоящей 
статьи вернулся к теоретико-множественной тематике под непо-
средственным влиянием самого П.С. Новикова и той обстановки, 
которая сложилась вокруг этого семинара.
Нужно отметить, что, хотя возникновение теории алгоритмов 
в идейном отношении было в значительной мере подготовлено де-
скриптивной теорией множеств (некоторые прогнозы в этом на-
правлении высказал еще Н.Н. Лузин), всё же в 1945
–
1946 гг. эта 
тематика была совершенно новой для московских математиков. 
Более того, она была связана с несколько иным научным мировоз-
зрением, чем то, которое культивировалось в московской теорети-
ко-множественной школе.
На семинаре реферировались основополагающие работы Пос-
та, Чёрча, Клини, Тьюринга и других. Со многими работами сам 
П.С. Новиков впервые знакомился на заседаниях семинара. Мно-
гие из них были написаны непривычным для москвичей формаль-
ным языком. Прямо на семинаре П.С. Новиков очищал основные 
идеи от формализма, выявлял природу основных конструкций, 
прослеживал идейные связи теоретико-алгоритмических и теоре-
тико-множественных проблем и ставил большое количество разно-
образных и интересных новых задач. Этот семинар очень содей-
ствовал тому, что вскоре после войны в Москве интенсивно раз-
вернулись работы в новых направлениях, относящихся к теории 
множеств, математической логике, теории алгоритмов, основаниям 
математики и ряду разделов теории функции действительного пе-
ременного.
Косвенным образом этот семинар сильно содействовал тому, 
что у многих из его участников позднее возникли интересы к элек-
тронным вычислительным машинам и кибернетике и появилась 
уверенность в том, что для развития этих новых областей органи-
чески необходим высокий уровень математической культуры.
В процессе работы этого семинара П.С. Новиков поставил се-
рию задач, касающихся рекурсивных, рекурсивно-перечислимых 
множеств и различных иерархий множеств, возникающих естест-
венным путём, отправляясь от этих классов множеств. Этими зада-
чами занялся целый ряд участников семинара. Были исследованы 
аналоги проективных множеств, оператор 
μ
; самим П.С. Новико-

---

130
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
вым были установлены некоторые аналоги принципа сравнения 
индексов и были получены теоремы об отделимости и неотдели-
мости для некоторых классов множеств. Впрочем, П.С. Новиков 
рассматривал эти задачи как чисто учебные и не считал нужным 
публиковать эти результаты. Впоследствии за рубежом этим вопро-
сам был посвящен целый ряд публикаций.
Работая в области теории множеств, П.С. Новиков всегда 
стремился к выбору наиболее принципиальных вопросов, связан-
ных с развитием всей математики в целом. Под влиянием Н.Н. Лу-
зина его заинтересовал вопрос об очерчивании возможностей и 
выяснении роли эффективных методов в теории множеств. Он 
всегда стремился к тому, чтобы нащупать границу между теми про-
блемами, которые берутся эффективными методами, и теми, кото-
рые выходят за пределы возможностей эффективного. Его интерес 
был вызван классификациями или иерархиями, которые рассмат-
ривались в дескриптивной теории множеств, потому что здесь всё 
начинается с простейших объектов 
–
интервалов или отрезков 
–
и 
простейших операций 
–
объединения, пересечения и дополнения. 
Далее к этому присоединяются операции проектирования или не-
прерывного преобразования и процесс трансфинитной индукции. 
Оказывается, что такие, казалось бы, весьма обозримые средства, 
приводящие к индивидуально определимым эффективным объек-
там, приводят к вопросам, которые эффективными средствами не 
берутся. Сюда относили такие вопросы, как мощность 
CA
-мно-
жеств (или проблему существования у них совершенного ядра), 
измеримость проективных множеств, возможность эффективного 
указания точек в заведомо непустом 
CA
-множестве (или проблема 
униформизации 
CA-
множества), наконец, законы отделимости для 
проективных множеств высших классов. Подозрения о том, что 
дескриптивная теория множеств доводит до границы эффективно-
го, высказывались и раньше. В частности, здесь очень велика за-
слуга Н.Н. Лузина. Однако П.С. Новиков сумел сочетать идею о 
поисках границ эффективного с исключительно яркими и сильны-
ми конструкциями и показал, что эта граница находится значи-
тельно дальше, чем это представлялось раньше.
Природа неявных 
B
-функций, отделимость проективных мно-
жеств 2-го класса, указание точки в непустом 
CA
-множестве 
–
всё 
это оказалось в пределах возможностей эффективного. Наконец, 
П.С. Новиков показал, что эффективные конструкции классифи-
цируются естественным образом не только по трансфинитам 2-го 
класса, но что эти классификации простираются до некоторого 
трансфинита 3-го класса. Занимаясь дескриптивной теорией мно-

---

131
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
жеств, П.С. Новиков естественным образом подошел к вопросам 
основания математики и после появления замечательной работы 
К. Гёделя, где была доказана непротиворечивость гипотезы конти-
нуума в рамках классических аксиоматик теории множеств, принял 
деятельное участие в разработке нового направления и весьма пло-
дотворно объединил методы аксиоматической и дескриптивной 
теории множеств. Результатом такого объединения явилось то, что 
было выяснено, что многие из фундаментальных задач дескрип-
тивной теории множеств, не поддавшиеся эффективным методам 
(проблема совершенного ядра в 
CA
-множествах, измеримость про-
ективных множеств, отделимость проективных множеств высших 
классов) существенным образом зависят от специальных теорети-
ко-множественных аксиом типа гёделевской аксиомы конструк-
тивности.