100 лет со дня рождения

CA
-
множеств, не отделимых посредством 
B
-множеств, следует, что на 
некоторых 
CA
-множествах заведомо существуют функции, которые 
не могут быть продолжены до 
B
-функций на всем континууме. 
Другой подход П.С. Новикова к родственным вопросам состоит в 
том, чтобы выяснить, как обстоит дело с несчётными подмножест-
вами континуума, содержащими совершенные подмножества.
Если бы этот вопрос решался положительно, то отсюда следо-
вало бы положительное решение проблемы континуума. П.С. Но-
виков обратил внимание на то, каким путем обычно доказывается 
несчётность отрезка. Из предположения, что отрезок пересчитан, 
т. е. дана счётная последовательность, элементами которой явля-
ются все точки отрезка, извлекается построение точки, не фигури-
рующей в этой последовательности. При этом некоторое число 
первых знаков арифметического представления этой точки опреде-
ляется, отправляясь от некоторого конечного числа первых знаков 
1
Такие подмножества названы релятивными континуумами.
2
Здесь можно сформулировать следующую задачу, которая, насколь-
ко мне известно, не решена: сохранится ли результат П.С. Новикова, если 
считать релятивным континуумом такое множество, которое не принадле-
жит некоторому разреженному классу (см. [8, 10]).

---

127
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
некоторого числа первых членов этой последовательности. Отправ-
ляясь от этого обстоятельства, П.С. Новиков вводит своеобразную 
эффективизацию понятия несчётности. Множество называется эф-
фективно-несчётным, если всякой счётной последовательности его 
точек поставлена в соответствие точка того же множества, такая, 
что некоторый набор первых знаков её арифметического разложе-
ния определяется по некоторому набору первых знаков точек, вхо-
дящих в некоторых отрезок заданной последовательности, и в та-
ком процессе может быть определён любой знак арифметического 
разложения этой точки.
П.С. Новиков показал, что всякое эффективно-несчётное мно-
жество содержит совершенное ядро [19]. Эта работа получила даль-
нейшее развитие в работах Л.Я. Крейнина и А.А. Ляпунова [2, 9].
В конце 1930-х годов П.С. Новиковым была сделана попытка 
классификации эффективных теоретико-множественных конструк-
ций. Им был определён некоторый регулярный трансфинитный 
процесс, который продолжается не только по трансфинитам 2-го 
класса, но и по трансфинитам 3-го класса и затухает где-то в пре-
делах трансфинитов 3-го класса. При этом не оставалось средств 
для эффективных построений, которые бы вывели за пределы этих 
конструкций. Существенно то, что вместе с построением множест-
ва осуществлялся эффективный пересчёт посредством трансфини-
тов 2-го класса сегмента трансфинитов, определённого тем транс-
финитным числом, которое характеризовало ранг построения [4]. 
Впоследствии эта конструкция П.С. Новикова была усовершенс-
твована А.В. Кузнецовым. Основная идея этой конструкции была 
использована А.А. Ляпуновым при описании эффективных опера-
ций, приводящих к измеримым множествам [10]. В дальнейшем, 
пользуясь этой идеей, Аддисон построил множество, универсаль-
ное для всех проективных. В настоящее время в теоретико-алго-
ритмических конструкциях идея определения эффективных транс-
финитов одновременно с описанием конструкций к построению 
новых классов эффективных множеств широко используется 
(Ю.Л. Ершов, А. Мостовский, К. Куратовский, В.И. Амстиславский).
В 1936 г. появилась работа Гёделя [22], в которой в некотором 
смысле была установлена непротиворечивость положительного 
решения континуум-проблемы, а также непротиворечивость акси-
омы Цермело, и была анонсирована непротиворечивость сущест-
вования 
CA-
множества без совершенного ядра и существования 
неизмеримых проективных множеств 2-го класса. Эта работа вы-
звала у П.С. Новикова очень большой интерес. По-видимому, он 
был первый у нас в стране, который оценил глубину и значимость 

---

128
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
этой работы. Однако долгое время подробное доказательство ут-
верждений этой работы, относящихся к дескриптивной теории 
множеств, не появлялось. Опираясь на основную идею К. Гёделя, 
состоящую в присоединении аксиомы конструктивности к системе 
аксиом теории множеств Цермело
–
Френкеля, и используя де-
скриптивные методы, разработанные им самим, П.С. Новиков по-
лучил доказательство обоих дескриптивных утверждений К. Гёделя 
[20]. Кроме того, он установил, что в том же смысле непротиворе-
чиво наличие обращённых законов отделимости и неотделимости 
(т. е. таких же, как во 2-м классе) для всех классов проективных 
множеств, начиная с некоторого. Впоследствии Аддисон доказал, 
что это имеет место, начиная с 3-го класса проективных мно-
жеств [21].
В самое недавнее время В.А. Любецкий, используя метод фор-
синга, построенный Коэном, доказал, не прибегая к специальным 
аксиомам, что:
1) из существования неизмеримого