100 лет со дня рождения

СА
-множество без совершенного ядра;
2) существуют неизмеримые по Лебегу проективные множест-
ва типа 
В
2
.
В той же работе 1951 г. он заявил результат о непротиворечи-
вости утверждения о том, что законы отделимости, имеющие место 
для проективных множеств второго класса, распространяются на 
проективные множества класса 
п 
–
начиная с некоторого 
п.

---

108
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
Позже Аддисоном было доказано, что непротиворечивость 
последнего утверждения имеет место начиная с 
п = 
3. Непротиво-
речивость первых двух утверждений была анонсирована Гёделем в 
1938 г., однако доказательства этого факта он не опубликовал. Не-
давно В.А. Любецкий доказал, что из существования неизмеримого 
множества тина 
А
2
 
следует существование несчётного множества 
типа 
СА 
без совершенного ядра, т. е. утверждение 1) следует из 2).
В 1940
–
1949 гг. Пётр Сергеевич создает метод доказательства 
непротиворечивости формальных систем, основанный на понятии 
«регулярности». Этот метод по своей природе родственен методам 
Эрбрана и Генцена, но отличается от них. Он заключается в следу-
ющем. Сначала определяется класс примитивных формул. Это есть 
произвольное множество формул, каждая из которых есть либо 
элементарная формула либо отрицание элементарной формулы, 
либо логическая сумма элементарных формул и их отрицаний (та-
кие формулы называются элементарными логическими суммами). 
Класс примитивных формул должен содержать всякую элементар-
ную логическую сумму, содержащую вместе с какой-либо из эле-
ментарных формул также и её отрицание. Наконец, он должен 
быть замкнут относительно операции замещения свободных пере-
менных термами. Каждое семейство примитивных формул одно-
значно определяет некоторый класс регулярности, состоящий из 
всевозможных конъюнкций, членами которых являются либо при-
митивные формулы данного семейства либо формулы, приводимые 
к примитивным с помощью следующих трех операций:
1) вычеркивание квантора всеобщности в одном из слагаемых, с 
соответствующим переименованием новой свободной переменной;
2) добавление к сумме новых членов, соответствующих слагае-
мым, начинающимся с квантора существования;
3) если некоторое слагаемое имеет вид конъюнкции, то в этой 
конъюнкции раскрываются скобки по закону дистрибутивности.
Доказывается, что определённые таким образом классы регу-
лярности замкнуты относительно применения правил вывода ло-
гики предикатов.
Опираясь на этот факт, Пётр Сергеевич в работе 1949 г. дока-
зал независимость аксиомы полной индукции в любой непротиво-
речивой системе, содержащей все аксиомы арифметики и любые 
другие аксиомы без переменных предикатов. В той же работе он 
доказал разрешимость алгоритмической проблемы распознавания 
для формул арифметики, не содержащих кванторов существования, 
выводимости их в формальной арифметической системе без аксио-
мы полной индукции, но с рекурсивными определениями и с ак-
сиомами неравенства.

---

109
Пётр Сергеевич Новиков
Используя метод регулярных формул и предположение о не-
противоречивости интуиционистской математики, Пётр Сергеевич 
в работе 1943 г. доказал непротиворечивость некоторого логичес-
кого исчисления, в котором как формулы, так и правила вывода 
определяются по трансфинитной индукции. Отсюда следует не-
противоречивость арифметики с любыми рекурсивными определе-
ниями. В той же работе Пётр Сергеевич доказал, что для всякого 
суждения о целом числе