И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Уравнение Эйлера
Рассмотрим функционал 
F,
удовлетворяющий требованиям 1,
2, 3 § § 2, 3. П усть эт о т функционал определен на линейном 
многообразии 
D(F),
элементы которого имеют в и д и = Д -)-т), 
гд е 
а
— фиксированный элемент данного пространства 
X,
а 
т
\
п робегает линейное м н ож ество 
М,
плотное в 
X.
П усть функционал 
F
достигает в точке 
щ
относи тельн ого 
минимума. В озьм ем произвольный элемент к) ^
М
и произволь­
ное вещ ествен ное число а. Тогда, если абсолютная величина а 
д остаточ н о мала, то норма разности
1К«о + «Ч)— н01 = | * Цч ||
буд ет сколь угодно мала, а в таком случае по определению 
отн оси тельн ого минимума
F (u0 + a-<])^F(ii0).
(
1
)
Э т о н ер авенство озн ачает, что функция одной вещ ественной 
переменной 
а,
равная 
F (и0
- j - ат|), имеет относительны й мини­
мум при а = 0. Н о то гд а необходимо
й /?(“о + вЧ - о
==0
или, что то же,
8
F (h o . т)) =
0
. 
(
2
)
Мы получили н еобходи м ое условие минимума: 
если функцио­
нал в некоторой т очке достигает минимума, то в этой
т очке вариация функционала равна нулю.

---

\
§ 4] 
УРАВНЕНИЕ ЭЙ Л ЕРА
5 3
I
Линейный функционал, тож дественно равный нулю, оче- 
' 
видно, ограничен, а в таком случае 
щ
£
D
(grad 
F).
Обозначим
grad 
F = Pu.
 
(3 )
Т огда
bF(u0, ц) = (Ра9, ц ) ~ 0 .
 
(4 )
Вы раж ение 
Рщ
есть функционал над элементом 
ц,
определен­
ный на том множ естве 
М,
которое пробегает т). Значит, функ- 
|
ционал 
Рщ
задан на плотном м н ож естве и на этом множе- 
I 
ст ве в се его значения равны нулы. П о непрерывности его 
I 
можно продолжить на все пространство 
X,
и на всем простран- 
|
стве его значения такж е будут равны нулю. Н о это означает, что
I 
Рий —
0.
Нами доказана
Т е о р е м а 3.4.1. 
Если функционал F, удовлетворяющий
требованиям
1 — 3, 
имеет относительный экстремум
в точке и0, то 
D
(g ra d
F) и в этой точке удовлет ­
воряется уравнение
(grad 
F)
(и0) — 0. 
( 5 )
I 
Уравнение (5 ) называется 
уравнением Эйлера.
( 
В качестве примера рассмотрим так называемую простей­
шую задачу вариационного исчисления. Э то — задача о мини­
муме функционала
ь
F (и) — \
Ф ( х , 
и, и') dx,
(6 )
а
область определения 
D (F)
к отор о го состо и т из функций, 
' 
непрерывно дифференцируемых на сегм ен те [а, 
Ь
] и уд о вл ет­
воряющих краевым условиям
и (а) — А, 
и(Ь) = В.
( 7 )
Э тот функционал описан в § 3. Мы допустим здесь, что функ­
ция 
Ф(х, и, и')
удовлетворяет всем ограничениям, наложенным 
на нее в § 3. Если функция 
и (х)
реали зует минимум (о тн о ­
сительный 
или, тем 
более, абсолю тны й), то 
по теор ем е 
Эйлера 3.4.1 и но формуле (3 .1 9 ) эта функция удовлетворяет

---

дифференциальному уравнению
dx
ф" ' ( * ’ "■ " О — ф« = = ° ;