И здан и е второе, стереотипное

F
еще одно
Т р е б о в а н и е 3. 
Вариация Ьр
(и, tj) —
не т олько одно­
родный, но и аддитивный функционал от
ц.
Аддитивные п однородны е функционалы мы будем назы­
вать 
линейными:
таким образом, требование ограниченности 
мы 
не вклю чаем в определение линейного функционала. 
Н аш е н о во е ограничение на функционалы 
Р
можно сформу­
ли ровать так: вариация 
Ьр (a,
tj) функционала 
F
е с т ь линей­
ный функциОнал от т].
При произвольно выбранном u ^ D ( F ) этот функционал, 
вообщ е говор я, не ограничен. Выделим м н ож ество 
N
тех 
элем ентов 
u £ D ( F ) ,
для которы х вариация есть ограничен­
ный функционал от yj.
Е сл и
и
£
N,
то сущ ествует ограниченный функционал 
g
такой, что
8f (И, Tj
) = (£,
Т]), 
(4 )
где ч ер ез (
g
, tj) обозначен результат воздействия функцио­
нала 
g
на элемент 
t j
.
С о о т ве т ст ви е
и -*-g
определяет на 
N
оператор 
Р
такой,
что
Pu = g, 
D
( Р ) =
N,
(5 )
и, следо вательн о ,
Ьр
(
и,
tj) 
= ( Р и ,
-г)); 
н £ Л / , 
Tj £
М.
(6 )
Линейный ограниченный в 
X
функционал 
g
е с т ь элемент 
п р остр ан ства 
X*,
сопряж енного с 
X.
Поэтому оператор 
Р,
определенный 
формулой (5 ) (или (6), 
что равносильно), 
д е й ст ву е т из бан ахова пространства 
X
в сопр яж енн ое про­
ст р ан ст во Л"*.
О п р е д е л е н и е .
О ператор 
P,
определенный 
форму­
лой (6 ), н азы вается 
градиентом
функционала 
F
(и ) и обозна­
чается символом
Р = grad f t
(7 )
ЕС ли 
u £ D ( P ) ,
то вариацию функционала 
F(u)
можно 
запи сать следую щ им образом:
ЬР{и,
T j) = £ ^ ( « + a ii) |вж=(1== (grad f t tj). 
(8)

---

В общ ем случае 
D (P
) — область определения градиента —
уж е, чем область определения D ( F ) функционала 
F.
2 . 
Рассмотрим следующий важный для дальнейш его п р и ­
м е р .
П у ст ь функция 
Ф(х, у, г
) определена и непрерывна, 
когда
х
£ [а, ft], 
— о о < ^ < ^ - | - с о , 
— о о < [ г < [ - j - ° ° .
Б удем предполагать, что функция 
Ф(х, у, z)
имеет частные 
производны е Фу и Фг, непрерывные в той ж е самой области 
изменения переменных 
х, у, г.
Р ассм отр и м функционал
ь
F (и) — ^Ф (х, и (л
г), 
tt'(x))dx, 
(9)
а
обл асть определения 
D(F)
к о т о р о го состоит из функций, 
удовлетворяю щ их следующим условиям : н £ С и ) [а, 
Ь
} и
и (а) — А, 
а
(ft) =
В,
( 1 0 )
где 
А
и 
В
— заданные постоянные. Условия ( 1 0 ) означают, 
что кривы е 
у = и(х)>
где 
D(F),
проходят через д ве фик­
сированные точки (а, 
А)
и (ft, 
В).
Д окаж ем , что функционал ( 9 ) удовлетво р яет требованиям
1, 2 § 2 и требованию 3 настоящ его параграфа. В к ач естве 
X
возьмем пространство 
1%{а,
ft). О чевидно, 
D(F)
принадле­
жит это м у пространству.
П р еж д е всего убедимся, 
что 
D {F)
— линейное м н ого­
образие. Положим
й ( х ) = А + £ = £ ( В — А). 
( И )
О чевидно, 
а 
£ С 11* [а, 6 } и 
а 
у д овлетво р яет условиям (1 0 ). 
П усть 
t t£ D (F ).
Рассмотрим р азн о сть 
\ ( х ) = и ( х )
—
й(х).
Очевидно, t } ^ C ( l ) [e, ft] и
Ч ( в ) =
i j ( f t ) =
О. 
( 1 2 )
Ясно, что множ ество 
М
функций 
-ц
линейно. О но сод ер ж и т 
м н ож ество функций, финитных на сегм ен те 
[a, 
ft]. П о сл е д ­
ствию 
1.3.1 
множество 
М
плотно 
в 
Ц (а ,
ft), 
а 
т о гд а
в 
Lt(a,
ft) плотно и линейное м н огообрази е D ( F ) . Т р е б о в а ­
ние 1 выполнено.

---

Обратимся к требованию 2. Имеем 
F
(й - j -
~ г 
aira
+ • • • 
апЧп)
==
ь 
п 
п
= \
Ф ( * , й ( х ) + 2 а * т‘* 
О ) 4 - S
акЧк (ХУ) dx.
(1 3 )
а 
к
— 1 
к=
1
Функция (1 3 ) непрерывно дифференцируема по переменным 
a ,, 
a-i
............ 
ап.
Д ействительно, из предположений относи­
тельн о функций Ф вы текает, что подынтегральная функция 
в ( 1 3 ) и ее первые производны е по 
av
а 3, . . . ,
ап
непрерывно 
зави сят от дг, а „ . . . ,
ап.
И з теоремы о дифференцировании 
интеграла, зависящ его от параметра, вы текает, что функция (1 3 ) 
имеет непрерывные частные производные по переменным а 1( 
аг, . . . , а„,
и эти производные можно получить дифферен­
цированием под зн аком интеграла.
Требования 1 и 2 выполнены, можно состави ть вариа­
цию функционала (9 ):
8
F(ti,
t ) ) = ^ F ( h - 1-а-г)) 
ь
~
^ Ф ( х , 
и' -f - 
ayf) dx
а
b
1{Фи(х, и, и')
7
j - } - фц.
(х, и, u’)t\)dx.
(1 4 )
а
И з формулы (1 4 ) видно, что требование 3 выполнено; вариа­
ция 
bF {и,
tj) есть линейный функционал от t), так как под- 
интегральная функция в (1 4 ) линейно зависит от 
т
\
и 
Р а з вариация о к азал ась линейной, можно ставить вопрос
о градиенте функционала 
F.
Выясним, какой долж на бы ть 
функция 
u (^ D (F ),
чтобы вариация 8F(/i, т)) была ограни­
ченным функционалом от 
ц.
П ростран ство Z.2 (a , 
b
) гильбертово. П о известной теореме 
Р и са 
любой линейный 
ограниченный функционал в этом 
пространстве имеет вид
ь
C*l> 
=
( 15)
где £ ( х ) — вполне определенная функция из Ig
(а, Ь\

---

Интеграл (1 4 ) распадается на два; в первом из них мно­
ж и тель Ф„ непрерывен и, тем более, суммируем с квадратом 
на промежутке 
(а, Ь);
первый интеграл в ( 1 4 ) есть ограни­
ченный функционал от т). О тносительно вто р о го интеграла
ь
^ФИ.7]'(16)
а
эт о го утверждать, вообщ е говоря, нельзя, если функция 
и
( х )
произвольна.
П усть функция 
и(х)
такова, что Ф « ( х , 
и (х), и'(х))
есть 
абсолю тно непрерывная функция от лг, и ее производная 
суммируема с квадратом на 
(а, Ь),
Д окаж ем , что тогда инте­
грал (1 6 ) есть ограниченный функционал от •>); мы исполь­
зуем при этом, что к ](х ) непрерывно дифференцируема и 
уд овлетворяет краевым условиям (12).
Е сл и функция Ф„’ (дг, и (
х),
и'(лг)) абсолю тно непрерывна, 
то сущ ествую т постоянная 
с
и функция ш £ Z.s (а , 
Ь)
такие, 
что
Ф„' (лг, 
и
(лг), 
и'
(лг)) =
с
-{— $ 
а>
( 0
dt;
(1 7 )
при этом почти всю ду в 
(а, Ь)
d 
‘ 
dx
ш (лг) =
Фя- (лг, 
и
(лг), 
и'
(лг)).
Если так, то интеграл
ь
$ Фвл)' 
dx
а
м ож н о взять по частям:
ь 
ь 
ь
^ 
flU = — 
Ф„. 
dx
+
1
= — § 
И
ф «’ 
dx.
а 
а
л
Т ак как ^ Ф0. = ш ^ Z.9(a , 
b
), то в силу теоремы Риса послед­
ний интеграл есть ограниченный функционал от 
г\.
А тогда 
будет ограниченным функционалом от 
т ] 
и вариация 
bF (и,
t j
) ,
которую теперь можно представить в виде
ь
lF(u, п ) =
jj [ф« — ™ Фц’|т)(/лг. 
(18)

---

Из соотнош ения ( 1 8 ) вы текает формула для grad 
F:
grad F = 0 „ ( j f , к, 
if)
—
Ф«- (*> и, 
if).
(1 9 )
Д ей стви тельн о, из формул (
8
) и (1 8 ) следует, что 
(grad
F
[ф ц 
~
Фи>], 
i\j — Q.
Р азн о ст ь
g r a d F — |ф„ — ^ ф«’]
ок азы вается ортогональной к множеству функций ij, плот­
ному 
в 
Lt (a,
ft). Н о тогд а
grad 
F
— |ф„ — ^ Фи-] = О,
что равносильн о формуле (1 9 ).
Таким образом, градиент функции 
F
определен на функ­
ции 
t i ^ D
(
F
), если Фи- — абсолю тно непрерывная функция, 
производная которой суммируема с квадратом
Д о к аж ем , что справедли во и обратное утверж дение:
Е сл и функция 
u ( x ) £ D ( F )
и одновременно 
и
£
D
(grad 
F),
т о на сегм ен те (a , ft] функция Ф„> (лг, к, н') абсолю тно непре­
рывна, производная ^ Ф ( - * > м. «О суммируема с квадратом на 
о т р е зк е
(a,
ft) и
(grad 
F) (и)
= Ф„ — ^ Ф „..
Е сл и
и
^
D(gtadF),
то вариация 
bF(u,ti)
есть ограничен­
ный функционал от tj. В таком случае интеграл ( 1 6 ) также 
есть ограниченный функционал от ■»). П о теореме Риса суще­
ст ву е т такая функция 
g ^ L t (a, b),
что
ь 
ь
I
 Фи-Y
(х ) dx — \ g (x ) ч(х) dx.
 
(
20
)
а 
а
П остр ои м функцию
0
( Л Г ) = -
\g(t)dt
а

---

и возьм ем по частям интеграл в правой части формулы (2 0 ). 
Так к ак функция т](лг) удовлетворяет условиям (1 2 ), то 
ь 
ь
\ g ( x ) t i { x ) d x =