И здан и е второе, стереотипное

ct
: х хУ — (г3 — х %
У2 '
(
3
)
реш ающ ую задачу Коши для уравнения колебаний мембраны; 
здесь 
Q — двумерный круг, 
определенный 
неравенством 
| z  — х  | ==S t.
§ 7. У равн ен и е кол ебани й с т р у н ы
Из формулы (6.3) можно получить реш ение задачи Коши 
для уравнения колебаний струны
д'и 
дги
_ _ 0 . 
(1 ч
Л * ~ 5 Р “
0, 
V ’
проще, однако, получить эт о реш ение непосредственно.
Н етрудно получить ф ормулу, сод ер ж а щ у ю все решения 
уравнения 
струны. 
Дли 
э т о г о
введем 
новые переменные 
£ = лг-4-*> ti = x — t. Уравнение (1 ) преобразуется к сл е­
дующ ему:
дИч
Представив последнее уравнение в виде
д_ / ди
:>
^
\о£,
ди
К Щ
= о ,
находим отсю да 
— 8 (£), где & (!) — произвольная функция.
Ui

---

Интегрируя по 5, получаем
и = 9. («) +
(ih
б, (?) = \ Ь (5) d l
где 
6, и 
0а — произвольные дифференцируемые 
функции. 
В озвращ аясь 
к старым переменным, 
приходим к общ ем у 
реш ению уравнения (1 )
и
с
х
, 
t)
= е, (х + о -f- М * — 0- 
(
2
)
Ф ормула ( 2 ) называется интегралом Даламбера.
Найдем реш ение уравнения (1), удовлетворяю щ ее у сл о ­
виям Кош и:
Полагая в ф орм уле (2 ) 
t
=
0, получаем
М - * ) + 0 я (*) = ¥о(-*)- 
(3 )
Д иф ф еренцируя ф орм улу (2 ) по * и полагая затем / = 0, 
получим ещ е
ei(-*0 —
К
(-0 =
ъ (х).
П рои н тегри руем последнее равенство
®i ( * ) —
(•*) = § Ъ (г ) d z - f С
( 4 )
о
Из р авен ств (3 ) и (4 ) находим
1
t
« W + jj
M * > = 4

| 

c j .
Т еперь ф орм ул а (2 ) дает и ском ое решение
а (х , t) = 3 *1 Х