И здан и е второе, стереотипное

- + V +
*
- 0 +
^
{г) dz. 
(5 )
Я
— 
t
Ф орм ула (5 ) называется формулой Даламбера.

---

§ 8. В о л н о в о е у р а вн ен и е 
с перем енны м и к оэф ф и ц и ен там и ‘ )
Р ассмотрим уравнение
S
- 4
( ^
M
^
) + C M « = ° .
(1 )
Примем следующие допущения: 1) коэффициенты A jk непре­
ры вно дифференцируемы, а коэффициент С непрерывен во 
всем пространстве Е т; 2) в том же пространстве упомяну­
тые коэффициенты ограничены; 
3 ) C ( j c ) ^ 0 ;
4 ) матрица
I Ajk (х ) |у’ * = ?  
положительно 
определенная 
при 
любом
х
G Ет.
В пространстве L t(E m) зададим оператор А. О бласть 
определения D (A ) эт о г о оператора пусть о б р а з у ю т функции, 
дважды непрерывно дифференцируемые в Е т и о бр а щ а ю ­
щиеся в нуль вне н ек отор ого шара (с в о е г о для каждой 
функции). Самый оператор А пусть дей ствует по ф орм уле
=
— щ
( А»  
+ Си■ 
(2 )
Л егк о видеть, что оператор А положителен: он бу д ет 
полож ительно определенным, если С(лс) З г С0, где С * — пол о­
жительная постоянная. 
О ператор Л мож но расш ирить по 
Ф ридрихсу (§ 7 гл. 5 ) до сам осопряж енного ®). Э т о са м о­
сопряж енное расширение обозначим через А  и вм есто у р а в ­
нения (1 ) будем, рассматривать абстрактное обы к н овен н ое 
дифференциальное уравнение в т о р о г о порядка
, ^
 + Аи = 0-
(3 )
*) Для понимания э т о г о параграф а н е о б х о д и м о зн а ть т е о р е м у
о сп ек тр а л ьн ом разлож ении ф ункции са м о со п р я ж е н н о г о о п е р а т о р а . 
И злагаем ы е ниЖе сообр а ж ен и я м ож н о прим енить й к у р а в н ен и ю
т е п л о п р о в о д н о ст и с перем енны ми к оэф ф и ц иен там и .
*) Если 
А
— полож ительно оп редел ен н ы й о п е р а т о р , т о , как б ы л о
от м е ч е н о в § 7 гл. 5, его ра сш и рен и е по Ф р и д р и х су е с т ь с а м о ­
со п р я ж е н н о е расш ирение. Если 
А
то л ь к о п ол ож и тел ен , т о р а с с м о ­
трим п ол ож и тел ь н о , оп редел енн ы й о п е р а т о р
Ё
=
А
+ / ( / — т о ж д е ­
ствен н ы й оп е р а т о р ). Если 
В
е ст ь
са м о со п р я ж е н н о е р а сш и р е н и е
о п е р а т о р а
В,
то 
А — В — 1
е ст ь с а м о со п р я ж е н н о е р а сш и р е н и е о п е ­
р а тор а
А.

---

будем искать 
решение э т о г о уравнения, удовл етворяю щ ее 
начальным условиям
и ( 0 ) = «р» 
и, (0 ) = - ^ | < - о = «р1. 
(3 j)
Будем считать, что
'po £ D  (^)>