И здан и е второе, стереотипное

§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа
Т е о р е м а 12.2.1. 
К ак внутренняя, т а к и внешняя 
задача Дирихле для уравнения Лапласа им еет не более 
одного решения.
Допустим, что задача Дирихле имеет два решения: Mi(x) 
и 
щ
(х). Тогда справедливы следующие две системы тождеств:
— Ami = F(jc), 
u1|r = cp(x); 
(
1
)
— Дм, =
F
 
(
jc
), 
щ
 |г =
<р
 (*). 
(2)
Введем обозначение 
ut (х
) —
щ
(х ) =
v
(х). Вычитая тож­
дество ( I ) из (
2
), получим
Дг> = 0, 
v  |г = 0. 
(3)
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Дело сводится 
к отысканию гармонической в 
2
функции ® (х ), непрерывной 
в 2. П о принципу максимума ее наибольшее и наименьшее 
значения достигаются на границе, но тогда они равны между 
собой и равны нулю. Отсюда следует, что г*= 0 и j ji ( x ) = k
2
(x).
Перейдем к внешней задаче Дирихле. Если 
т —
2, то 
конформным преобразованием (например, дробно-линейным) 
можно перевести бесконечную об­
ласть в конечную. Уравнение Лапласа 
при этом переходит опять в урав­
нение Лапласа, функция 
v,
гармони­
ческая в бесконечной области, пере­
ходит в функцию, гармоническую в 
конечной области, и эта функция по- 
прежнему равна нулю на границе 
области. Дело сводится, таким об­
разом, к уже доказанной единствен­
ности задачи Дирихле в конечной 
области. Поэтому дальше нам доста­
точно рассмотреть случай 
т
^>2. В силу условия (1.6) разность 
решений 
v = Ui
— и
9
гармонична в 2. Окружим границу Г
шаром радиуса 
R
с поверхностью 
и рассмотрим функ­
цию ® ( х ) в кольцевой области 2^, заключенной между Г и 
S#
(рис. 20). Нам известно, чтог»|Г = 0; кроме того, на доста­
точно большом расстоянии от начала координат, которое мы

---

поместим в центре сфер и ^
I® (■ *)!<
Следовательно, на поверхности шара 
S #
если только радиус 
R  
достаточно велик,
Зададим произвольное число е ^ 0 и выберем 
R
настолько 
большим, чтобы 
CR'2~m
е. В кольцево» области 
QR
наиболь­
шее и наименьшее значения функция г»(лг) принимает либо на Г, 
либо на 
S K\
эти значения, следовательно, по модулю не пре­
восходят е.
Пусть 
х
— произвольная точка области 
Q.
При достаточно 
большом 
R
эта точка попадет в область 
QR
и потому 
|г>(лг)|<^е. Но е — произвольное положительное число, поэтому 
® 
(-*0
=
0
и 
щ
(х ) =
щ
(х).
З а м е ч а н и е . Об условиях единственности решения задачи 
Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка (1.1) 
см. книгу Миранда [
10
]. Если матрица старших коэффициентов 
положительно определенная в замкнутой области 
2
и /
10
(лг);>
0
, 
то единственность решения задачи Дирихле вытекает из принципа 
максимума (§ 
10
гл. И).
Займемся задачей Неймана. Будем говорить, что функ­
ция 
и (х ),
определенная в области 2, имеет на границе Г
этой области 
правильную нормальную производную,
если 
существует непрерывный на Г предел
причем стремление к пределу — равномерное относительно 
х; 
через 
х
, как и выше, обозначена точка области, лежащая 
на нормали v, проходящей через точку 
х.
Если функция 
и
^ С (1) (й ), а граница Г гладкая, то, оче­
видно, 
и
(л ) имеет на Г правильную нормальную производную.
Рассмотрим конечную область 2 с границей Г и поста­
вим для этой области внутреннюю задачу Неймана:
С
дт-г •
Au = F (x ), x £ Q ,
н £ С (
9
) (
2
) П С ( 2 )*

---

причем будем требовать, чтобы 
искомая функция имела пра­
вильную нормальную производную.
Предположим еще, что 
граница Г есть 
регулярная поверхность.
Это означает сле­
дующее: 
1
) в каждой точке 
х
поверхности существует опре­
деленная нормаль; 2) если в любой точке 
х
£ Г построить 
местную систему координат, в которой ось 
х т
направлена 
по нормали, а оси 
x lt х& ..., x m__t
лежа г в касательной пло­
скости, то вблизи точки 
х
можно задать поверхность явным
уравнением вида 
х т = f ( x
j, 
xt
.......
х т
j); 3) при 
x v
х а>
• • •>
достаточно малых / £ С(г).
Покажем, что задача Неймана (4) в общем случае нераз­
решима, и выведем необходимое условие ее разрешимости.
В каждой точке 
х
поверхности Г проведем нормаль, 
направленную внутрь области, и на нормали отложим отрезок 
фиксированной длины 
h,
один конец которого совпадает 
с точкой 
х.
Геометрическое место вторых концов образует 
поверхность Г А, о которой говорят, что она 
параллельна 
поверхности Г. Из дифференциальной геометрии известно, 
что при 
h
достаточно малом поверхность I ’ft гладкая и что 
нормаль к одной параллельной поверхности является нормалью 
и к другой. Обозначим через 2 (Л) область, заключенную 
внутри Г А; очевидно, 2 (Л) = 2 \ 2 ft, где 2 Л — пограничная 
полоска области 
2
ширины 
h. 
_
Если 
и
— решение задачи (4), то, очевидно, 
и
(5 С (8) ( 2 (Л))
и к функциям 
и
и 
v ~
1
можно 
применить 
формулу 
Грина (6.10) гл. 10. В данном случае эта формула дает
— jj 
F {x )d x =
J
% < trh.
9'*' 
ГЛ
Функция и имеет правильную нормальную производную,
поэтому*?— 
равномерно стремится к 
= ф (х ) при /г->
0
.
cfo гд 
r
Переходя в последней формуле к пределу при 
h -*
0, получим
^ 
F
(х ) 
dx
-f- ^ ф (■*)
я
 
Г
Этому соотношению необходимо должны удовлетворять данные 
нашей задачи. В общем случае, как мы видим, внутренняя задача 
Неймана для уравнения Лапласа решения не имеет — решение 
может существовать лишь тогда, когда выполнено условие (5).

---

В частных случаях однородного краевого условия или 
однородного дифференциального уравнения должно выпол­
няться соответственно одно из двух равенств: