The McGraw-Hill Series Economics essentials of economics brue, McConnell, and Flynn Essentials of Economics

Appendix C.
)
Maximum Likelihood Estimators
We noted in Chapter 4 that under the assumption that
u
i
, the population disturbances, are
normally distributed with zero mean and constant variance
σ
2
, the maximum likelihood
(ML) estimators and the OLS estimators of the regression coefficients of the two-variable
model are identical. This equality extends to models containing any number of variables.
(For proof, see Appendix 7A, Section 7A.4.) However, this is not true of the estimator
of
σ
2
.
It can be shown that the ML estimator of
σ
2
is
ˆ
u
2
i
/
n
regardless of the number of
variables in the model, whereas the OLS estimator of
σ
2
is
ˆ
u
2
i
/
(
n
−
2) in the two-
variable case,
ˆ
u
2
i
/
(
n
−
3) in the three-variable case, and
ˆ
u
2
i
/
(
n
−
k
) in the case of the
k
-variable model (7.4.20). In short, the OLS estimator of
σ
2
takes into account the number
of degrees of freedom, whereas the ML estimator does not. Of course, if
n
is very large, the
ML and OLS estimators of
σ
2
will tend to be close to each other. (Why?)
7.5
The Multiple Coefficient of Determination 
R
2
and the Multiple Coefficient of Correlation 
R
In the two-variable case we saw that
r
2
as defined in Eq. (3.5.5) measures the goodness of
fit of the regression equation; that is, it gives the proportion or percentage of the total vari-
ation in the dependent variable
Y
explained by the (single) explanatory variable
X
. This
notation of
r
2
can be easily extended to regression models containing more than two vari-
ables. Thus, in the three-variable model we would like to know the proportion of the varia-
tion in
Y
explained by the variables
X
2
and
X
3
jointly. The quantity that gives this
information is known as the